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6174: il mistero dietro a un numero di Stefano Frara
Ognuno ha la possibilità di scoprire un mistero e il numero 6174 è uno di quelli veramente misteriosi. Certo, di primo acchito potrebbe non sembrare così ovvio ma, come stiamo per vedere, chiunque sia in grado di fare una sottrazione, può svelare l’enigma che rende il 6174 così speciale.
Nel 1947 il matematico Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar escogitò un processo oggi noto come operazione di Kaprekar. Il dottor Kaprekar nacque nel 1905 a Dahanu, vicino a Mumbai, in India e fin da piccolo mostrò un particolare interesse per i numeri e la matematica. Frequentò il liceo a Thana, cittadina a Nord dell’India, al confine con il Pakistan; proseguì gli studi a Poona (vicino a Mumbai), al Fergusson College, per poi laurearsi nel 1929 all’Università di Bombay. Dal 1930 fino all’anno del suo pensionamento, nel 1962, lavorò come insegnante a Devlali, un paesino indiano; qui realizzò diverse scoperte su svariate interessanti proprietà sulla teoria ricreativa dei numeri e diede alle stampe molteplici pubblicazioni sui più disparati argomenti quali decimali periodici, quadrati magici e integrali con peculiarità singolari. L’operazione di Kaprekar prevede in tutto cinque semplici passaggi:
È, sì, una semplice operazione, ma proprio attraverso questo gioco Kaprekar giunse ad un risultato sorprendente. Proviamo ad esempio con il numero 2005: il massimo numero che è possibile ottenere è 5200, mentre il minimo 0025 o, più semplicemente, 25. Infatti, se tra le cifre presenti vi è uno 0 o più, questi non vanno considerati nel formare il numero più piccolo.
Le sottrazioni saranno le seguenti:
5200 – 0025 = 5175 7551 – 1557 = 5994 9954 – 4599 = 5355 5553 – 3555 = 1998 9981 – 1899 = 8082 8820 – 0288 = 8532 8532 – 2358 = 6174 7641 – 1467 = 6174
Quando si raggiunge 6174, l’operazione si ripete uguale all’infinito, ritornando ogni volta a 6174. Pertanto il numero 6174 è il fulcro dell'operazione di Kaprekar. Ma è una semplice coincidenza o c’è qualcosa di ancor più sorprendente? Se si prova, ad esempio, con il numero 1789, cosa si ottiene? Proviamo: 9871 – 1789 = 8082 8820 – 0288 = 8532 8532 – 2358 = 6174 Otteniamo di nuovo 6174! Un vero mistero!
Con il 2005, il sistema arriva a 6174 in sette passaggi mentre per il 1789 solo in tre. In realtà, si raggiunge il numero magico 6174 tutte le volte che si sceglie un numero che non ha le cifre tutte uguali (es. 6666 – 6666 = 0!) o che ne ha tre uguali e l’unica diversa e più grande o più piccola di un’unità (es. 4443 – 3444 = 999 oppure 8777 – 7778 = 999!). È meraviglioso, non è così? Nella sua semplicità, l’operazione di Kaprekar fornisce un risultato sicuramente interessante che aumenta ancor più la sua singolarità se si riflette sulla ragione per cui tutti i numeri di quattro cifre approdano al numero 6174. Le cifre di un qualsiasi numero (in questo caso quattro) possono essere risistemate disponendole in ordine decrescente nel numero dal valore massimo, e nel numero minimo con le cifre in ordine crescente. Così, prese le quattro ipotetiche cifre a, b, c, d dove 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 e a, b, c, d non sono tutti uguali (o tre uguali e l’altro maggiore o minore di un’unità), il numero massimo sarà abcd e il minimo dcba. A questo punto si può calcolare il risultato dell’operazione di Kaprekar usando il metodo standard della sottrazione:
a b c d - d c b a =
P Q R S
Con le seguenti relazioni:
S = 10 + d – a (e a > d) R = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b (e b > c – 1) Q = b – 1 – c ( e b > c) P = a – d
e mantenendo sempre valida la regola a > b > c > d.
Ad un numero si può applicare l’operazione di Kaprekar se la differenza PQRS può essere scritta utilizzando le quattro cifre iniziali a, b, c, d. Possiamo così trovare il nucleo dell’operazione di Kaprekar (6174) considerando tutte le possibili combinazioni di {a, b, c, d}e controllando se soddisfano le relazioni scritte sopra. Ognuna delle 4! = 24 combinazioni fornisce un sistema con quattro incognite, e siamo quindi in grado di risolvere il sistema per a, b, c, d. Si rivela dunque che una sola di queste combinazioni ha per soluzione dei numeri interi che soddisfano 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Tale combinazione è PQRS = bdac, e la soluzione delle equazioni simultanee è a = 7, b = 6, c = 4, d = 1; in pratica PQRS = 6174. Non si raggiungono invece soluzioni valide risultanti con alcune cifre {a, b, c, d} uguali. Perciò il numero 6174 è l’unico numero che non cambia nell’operazione di Kaprekar – il numero misterioso è pertanto unico!
C’è da aggiungere inoltre che per i numeri a tre cifre si presenta il medesimo fenomeno. Per esempio, applicando l’operazione di Kaprekar al numero 753, otteniamo il seguente risultato:
753 – 357 = 396 963 – 369 = 594 954 – 459 = 495 954 – 459 = 495
Il numero 495 risulta, al pari del 6174, la soluzione unica per l’operazione di Kaprekar applicata su numeri con tre cifre (non tutte uguali e, se due uguali, quella diversa non maggiore o minore di un’unità).
Già verso la metà degli anni ‘70, l’operazione di Kaprekar era conosciuta e studiata da molti matematici sparsi in tutto il mondo e già allora sembrava alquanto semplice dimostrare perché accadesse questo fenomeno, ma non si riusciva a capire la ragione che stava dietro. Prima di tutto iniziarono a servirsi di un computer per verificare se tutti i numeri di quattro cifre (eccetto le eccezioni sopra citate) raggiungessero la “chiave” 6174 in un numero limitato di passaggi. Il risultato fornito da un programma in Visual Basic sentenziò che tutti i numeri raggiungevano 6174 in sette passaggi al massimo e, in caso contrario, si doveva attribuire l’errore ad una svista nel calcolo. Ecco la tabella con numero di passaggi e frequenza:
Uno dei primi studiosi dell’operazione di Kaprekar, Malcolm Lines, dimostrò in uno dei suoi articoli che era sufficiente verificare soltanto 30 degli 8991 possibili numeri a quattro cifre. Sempre premesso che 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, si può calcolare la prima sottrazione scrivendo il numero massimo come 1000a + 100b + 10c + d e il minimo come 1000d + 100c + 10b + a. Pertanto la sottrazione è:
1000a + 100b + 10c + d – (1000d + 100c + 10b + a) = = 1000(a – d) + 100 (b – c) + 10 (c – b) + (d – a) = =999(a – d) + 90(b – c).
I possibili valori di (a – d) sono compresi tra 1 e 9 (perché a è necessariamente maggiore di d, altrimenti a = b = c = d e non sarebbe valido), mentre per (b – c) vanno da 0 a 9 (infatti b ≥ c). Si può quindi costruire una tabella con tutti i risultati possibili:
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/table2.gif Noi siamo interessati unicamente dai numeri le cui cifre non sono tutte uguali e rispettano la premessa a ≥ b ≥ c ≥ d; perciò bisogna considerare solo quei numeri dove (a – d) ≥ (b – c), ignorando gli altri (settore in grigio) perché (a – d) ≥ (b – c). Questi vanno poi disposti a formare il numero maggiore con le quattro cifre e disposti nelle colonne in ordine decrescente così da averli pronti per la successiva sottrazione:
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/table3.gif In grigio ci sono numeri già presenti nella tabella e che di conseguenza vanno considerati una volta sola. Rimangono così solamente 30 numeri cui, applicando l’operazione di Kaprekar, danno i risultati qui riportati sotto forma di schema:
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/whichway.gif Si è visto come i numeri di tre e quattro cifre raggiungano (quasi) sempre i rispettivi numeri 495 e 6174; ma cosa succede con gli altri numeri?I risultati sono discordanti!
Proviamo, ad esempio, con un numero di due cifre, 28:
82 – 28 = 45 54 – 45 = 9 90 – 09 = 81 81 – 18 = 63 63 – 36 = 27 72 – 27 = 45 54 – 45 = 9
Non ci va molto tempo per scoprire che tutti i numeri a due cifre (non uguali tra loro e una cifra non maggiore o minore di un’unità rispetto all’altra) danno la sequenza 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 … che si ripete all’infinito. Non c’è, dunque, una chiave per i numeri a due cifre!
E cosa succede con numeri di cinque cifre? Si comportano come quelli a tre e quattro cifre o come quelli a due? Logicamente, per rispondere a questa domanda, è necessario adottare il metodo seguito in precedenza analizzando tutte le 120 combinazioni di {a, b, c, d, e} il cui risultato sia PQRST e che rispettino la regola 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0. Fortunatamente i calcolatori sono in grado di risolvere rapidamente questo quesito dandoci una risposta particolare: applicando l’operazione di Kaprekar ai numeri di cinque cifre si ottiene sempre una di tre possibili sequenze che si ripetono infinitamente:
71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973 … 75933 → 63951 → 61974 → 82962 → 75933 … 59994 → 53955 → 59994 …
Altri informatici e matematici si sono preoccupati di verificare il risultato con numeri di sei, sette e più cifre. Il lavoro era chiaramente sempre più duro e il risultato non conduceva a nessuna spiegazione matematica valida per tutti i numeri, indipendentemente da quante fossero le cifre. Si riportano i risultati ottenuti con numeri fino a dieci cifre, ma per chi fosse curioso, può trovare tutte le sequenze e i numeri “chiave” sul sito di Walter Schneider http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/kaprekar-process.html
Riassumendo, si è visto che (quasi) tutti i numeri a tre cifre arrivano concordemente al 495 e quelli a quattro a 6174 con l’operazione di Kaprekar ma non si è giunti alla spiegazione del perché si giunga ad un unico risultato. È meramente un fenomeno casuale, o c’è una ragione matematica più profonda che spiega questo fenomeno? Per quanto il risultato sia affascinante e misterioso, si è concluso – fino ad ora – che sia un fenomeno casuale. Pensiamo al puzzle di Yukio Kamamoto in Giappone:
«Se si moltiplicano due numeri di cinque cifre, si ottiene 123456789. Indicare i due numeri.»
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/puzzle1.gif È un problema seducente e si potrebbe pensare che dietro questo gioco ci sia una più grande teoria matematica, ma, in verità, non è così! È soltanto una circostanza casuale, per quanto avvincente possa essere; se si sostituisse il risultato 123456789 con 123456784 il procedimento per la risoluzione sarebbe lo stesso, ma decisamente meno coinvolgente!
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/puzzle2.gif Senza dubbio, saranno molte di più le persone invogliate a risolvere il primo problema per il suo fascino, mentre il secondo sarebbe scartato dalla maggioranza perché “solo” matematica, la scienza dei pregiudizi negativi. Tuttavia si è voluto proporli entrambi perché sono entrambi appassionanti, ma ciò non comporta nulla di più profondo se non una semplice bellezza casuale! Proprio preconcetti come questi, hanno portato matematici e, più in generale, scienziati su una via errata alla ricerca di regole e dimostrazioni inesistenti. Può essere abbastanza sapere che tutti i numeri di quattro cifre raggiungono il 6174 con l’operazione di Kaprekar, ma non conoscerne la ragione? Finora nessuno è stato in grado di spiegare perché i numeri di tre e quattro cifre abbiano un unico risultato “chiave” e tanto meno perché questo sia solo un fenomeno casuale. Questa proprietà, infatti, sembra così sorprendente da spingerci a pensare ad un grande teorema sui numeri nascosto dietro ciò. Ma ora sappiamo che è semplicemente un bel preconcetto, nonostante la speranza che non sia così! Questa ricerca è stata ispirata da un articolo di Yucata Nishiyama docente della Osaka University of Economics, Giappone e dai “giochi magici” di Ennio Peres, pubblicati su Polymath, nella sua rubrica MatheMagica: Un procedimento singolare e Le radici numeriche.
In libreria e in rete:
Kaprekar, D. R., Another Solitaire Game, Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245, 1949 Martin Gardner, The Magic Numbers of Doctor Matrix, Prometheus, 1985 http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/ http://en.wikipedia.org/wiki/D._R._Kaprekar http://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_constant http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/kaprekar-process.html |
