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Archimede e i grandi numeri
di Federico Peiretti
Alla Gara Mondiale di Matematica sembrava
che non ci fossero più dubbi sul vincitore. Come racconta Cesare
Zavattini nel suo libro Parliamo tanto di me, i matematici
dovevano esprimere il numero più grande e quando tutti erano
ormai sfiniti, dopo ore di appassionata contesa, il protagonista con
grande enfasi aveva declamato:
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| Cesare Zavattini (1902 - 1989) scrittore,
giornalista e sceneggiatore è stato uno dei protagonisti
del cinema italiano. Ricordiamo soltanto la sua lunga collaborazione
con il regista Vittorio De Sica che portò alla realizzazione
di alcune delle più importanti opere del cinema neorealista:
I bambini ci guardano (1943), Sciuscià (1946), Ladri di biciclette
(1948), Miracolo a Milano (1950), Umberto D (1951). |
"Un miliardo di miliardi di miliardi
di miliardi di miliardi …", proseguendo così finché
l’ultimo fievole "…di miliardi" gli uscì
dalle labbra con un sospiro, quindi si abbatté sfinito sulla
sedia, fra il delirio della folla che riempiva il salone in cui si svolgeva
la Gara. Ma quando il principe Ottone stava per appuntargli la medaglia
sul petto ecco spuntare il temuto avversario, Gianni Binacchi, che con
un urlo, "Più uno!", gli rubò il primato”.
Il nostro protagonista, affranto, tornò a casa e si buttò
singhiozzando fra le braccia della moglie che lo attendeva sulla porta:
"Se avessi detto più due avrei vinto io".
E se qualcuno avesse detto "Più
tre"? E' chiaro che la gara non poteva aveva un vincitore, perché
i numeri naturali sono infiniti e non esiste il numero più grande.
Ha però un grande interesse la ricerca sui numeri più
grandi inventati dai matematici per i loro calcoli o, più in
generale, dagli scienziati per le loro misure.
Così Archimede (circa 287 - 212
a. C.), nella sua opera l'Arenario, pensò di arrivare
al numero più grande con il calcolo dei granelli di sabbia che
potevano riempire tutto l'Universo:
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| Archimede, 287 - 214 a. C. |
Alcuni pensano, o re Gerone che il numero
dei granelli di sabbia sia infinito in quantità: non intendo
soltanto la sabbia che si trova nei dintorni di Siracusa e del resto
della Sicilia, ma anche quella che si trova in ogni altra regione, abitata
o deserta. Altri ritengono che questo numero non sia infinito, ma che
non possa esistere un numero esprimibile e che superi questa quantità
di sabbia. E' chiaro che coloro i quali pensano questo, se immaginassero
un volume di sabbia uguale a quello della Terra, avendo riempito di
sabbia tutti i mari e tutte le valli, fino alle montagne più
alte, sarebbero ancor meno disposti ad ammettere che si possa esprimere
un numero che superi quelli quantità. Ma io tenterò di
mostrarti, attraverso dimostrazioni geometriche che tu potrai seguire,
che alcuni dei numeri da noi enunciati ed esposti negli scritti inviati
a Zeusippo, non soltanto superano il numero dei granelli di sabbia aventi
un volume uguale a quello della Terra riempita come abbiamo detto, ma
anche un volume uguale a quello dell'intero Universo.
L'obiettivo di Archimede era quello di
trovare e di riuscire a rappresentare il numero più grande che
si potesse immaginare e dimostrare che la successione dei numeri poteva
essere estesa all'infinito.
Per essere sicuro di superare ogni altro matematico, propose, in scala,
alcuni numeri ancora più grandi, oltre i quali, ne era convinto,
nessuno sarebbe mai andato. Al posto del nostro sistema di numerazione
decimale, che va di dieci in dieci, ne adottò uno basato sulla
miriade, il diecimila dei greci, e di miriade in miriade arrivò
a 10^64 (10 elevato a 64). Dalla miriade passò poi alla miriade
di miriadi, presa come base di un nuovo sistema di numerazione e il
suo sistema di numerazione procedeva quindi di cento milioni in cento
milioni (10 000 x 10 000), ovvero di 10^8 in 10^8 e chiamò i
diversi ordini classi. In tal modo la prima classe, chiamata
dei numeri primi, comprendeva i numeri da 1 a 99 999 999. A
questi seguivano i numeri secondi, da 10^8 a 99 999 999 x 10^8,
i numeri terzi, compresi fra (10^8)^2 a (99 999 999x10^8)^2,
i numeri quarti, compresi fra (10^8)^3 a (99 999 999x10^8)^3
e così via, fino a raggiungere la miriade di miriadi di miriade
di miriadi, cioè (10^8)^8. Quest'ultima diventa, a sua volta,
la base di un nuovo sistema di numerazione, le cui classi Archimede
chiamò periodi. In questo modo arrivò a numeri
sempre più grandi, con un metodo proposto anche da altri matematici
dell'epoca, ad esempio da Apollonio di Perga (circa 262 - 180 a. C.).
Wassily Kandnsky,
In Gray, 1919
"Il sistema di numerazione proposto
da Archimede - scrive Carl Boyer nella sua Storia della Matematica
- giungeva a un numero che sarebbe scritto come uno seguito da ottantamila
milioni di milioni di cifre". A questo punto poteva rappresentare
qualsiasi grande numero e contare senza problemi i granelli di sabbia
contenuti in una sfera grande come l'Universo. Incominciò per
questo a calcolare il numero dei granelli contenuti in una capsula di
papavero, valutando che non potevano essere più di diecimila
e successivamente, a catena, calcolò il numero delle capsule
di papavero contenute in una sfera del diametro di un dito, il numero
di queste sferette contenute in una sfera avente un diametro di uno
stadio (circa 200 metri) e, tenendo conto delle misure astronomiche
dell'epoca, proseguì con sfere sempre più grandi fino
alla sfera delle stelle fisse. Secondo i suoi calcoli, l'Universo avrebbe
potuto contenere al massimo 10^63 granelli di sabbia.
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Jorge Luis Borges, foto di Ferdinando
Scianna,
in Letras Libres, 1999 |
Un giorno o una notte - tra i miei giorni
e le mie notti, che differenza c'è? - sognai che sul pavimento
del carcere c'era un granello di sabbia. Mi riaddormentai indifferente;
sognai che mi destavo e che i granelli di sabbia erano due. Mi riaddormentai;
sognai che i granelli di sabbia erano tre. Si andarono così moltiplicando
fino a colmare il carcere e io morivo sotto quell'emisfero di sabbia.
Compresi che stavo sognando; con un grande sforzo mi destai. Fu inutile;
l'innumerevole sabbia mi soffocava. Qualcuno mi disse: "Non ti
sei destato alla veglia ma a un sogno precedente. Questo sogno è
dentro un altro, e così all'infinito, che è il numero
dei granelli di sabbia. La strada che dovrai percorrere all'indietro
è interminabile e morrai prima di esserti veramente destato".
Jorge Luis Borges
Curiosamente, nello stesso periodo in cui Archimede a Siracusa pensava
ai grandi numeri, o anche prima, ritroviamo in India, in diverse situazioni,
gli stessi calcoli. Ad esempio, come riporta Karl Menninger, nel suo
libro A Cultural History of Numbers, l'opera di riferimento
per la storia dei numeri, si narra che Buddha, quando chiese in moglie
Gopa, la figlia del Principe Dandapani, venne sottoposto, con altri
cinque pretendenti, a una serie di prove di abilità che superò
brillantemente. Alla fine il padre di Gopa gli chiese di superare un'ultima
prova, la più difficile, di matematica (questo dimostra l'alta
considerazione in cui gli indiani hanno sempre tenuto la scienza dei
numeri), battendosi contro Arjuna, il matematico più celebre
del regno. Quest'ultimo gli chiese di elencare le unità degli
ordini superiori al koti, che corrispondeva a 10 milioni. Buddha
non solo le elencò tutte, fino a 10^53, un numero chiamato tallaksana,
ma andò oltre con una serie di sequenze di numeri, simili a quelle
trovate da Apollonio e da Archimede, che si concludevano con 10^421.
Arjuna, non soddisfatto, gli chiese ancora di contare gli atomi contenuti
in una yoyana (un miglio). Buddha, partì dall'atomo
e stabilì una successione che ricorda quella descritta da Archimede,
ma forse più poetica con unità di misura sempre più
grandi, semi di papavero, semi di senape, chicchi d'orzo e così
via, arrivando a contare 384.000 x 7^10 atomi:
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| Una Tangka tibetana degli inizi
del ‘900 |
7 atomi equivalgono a una piccolissima particella
7 piccolissime particelle equivalgono a una piccola particella
7 piccole particelle equivalgono a una particella che può ancora
essere trasportata dal vento
7 di tali particelle equivalgono a una traccia di coniglio
7 tracce di coniglio equivalgono a una traccia di montone
7 tracce di montone equivalgono a una traccia di bue
7 tracce di bue equivalgono a un seme di papavero
7 semi di papavero equivalgono a un seme di mostarda
7 semi di mostarda equivalgono a un chicco d'orzo
7 chicchi d'orzo equivalgono a una nocca delle dita
7 nocche delle dita equivalgono al palmo di una mano
2 palmi della mano equivalgono a un ell, una mano
4 ell equivalgono a un nodo
1000 nodi a una krosa,
4 krosa equivalgono a una yoyana.
E si poteva continuare ancora, osservò
il Buddha, con il calcolo del numero degli atomi contenuti in tutto
il regno, nel nostro mondo e nei tre milioni di mondi contenuti nell'Universo.
In generale, possiamo osservare che nei testi delle religioni orientali,
si trovano sovente grandi numeri usati, come dice Menninger, per sottolineare
la sacralità del racconto. Sono numeri che proprio per le loro
dimensioni spropositate, rendono piccole e lontane le cose mortali.
Ad esempio, in India, uno dei numeri più grandi era la distanza
coperta in sei mesi da un dio che viaggia alla velocità di un
milione di chilometri in un batter d'occhio (circa un anno luce).
Nel libro che racconta la vita del Buddha è scritto:
"Il Buddha sarà riconosciuto
da 30 simboli principali e 80 secondari, sua madre da 32 e la casa in
cui nascerà da 8. Sua madre, la regina Maya - Devi sarà
accompagnata da 10 milioni di dame di compagnia. Centinaia di migliaia
di religiosi e centinaia di migliaia di milioni di illuminati renderanno
omaggio al Buddha. Il suo trono è fatto di lavori per i quali
ci sono voluti centinaia di migliaia di milioni di kalpas [periodi di
4320 milioni di anni]. E il grande loto che sboccia nella notte in cui
il Buddha viene concepito, apre il suo fiore su 68 milioni di miglia".
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| Particolare di un dipinto attribuito
a Soltan Mohammad (XVI sec.) raffigurante l'ascesa al cielo del
Profeta. |
Nella religione musulmana ritroviamo invece
queste parole di Maometto, dopo la sua salita al cielo:
"Vidi un angelo, la più
grande di tutte le creature. Aveva 70 mila teste e ogni testa aveva
70 mila volti, ogni volto aveva 70 mila bocche, ogni bocca 70 mila lingue
e ogni lingua parlava 70 mila linguaggi e tutte cantavano le lodi del
Signore".
In questo modo i linguaggi diversi risulterebbero
1,6807 milioni di miliardi di miliardi.
Oggi, per la maggior pare delle persone, il numero più grande
è il miliardo. Sicuramente è il più popolare, se
non altro perché rappresenta l'unità di misura delle grandi
vincite alle lotterie. Ma è già motivo di una certa confusione.
Infatti per gli americani il miliardo è il bilione,
che è invece per gli europei il milione di milioni. Ugualmente
il trilione è per gli americani mille bilioni e per gli europei
un milione di bilioni e così via su una scala che da una parte
procede di mille in mille e dall'altra di milione in milione.
Si osservi che il milione deriva da mille con un suffisso accrescitivo.
Francobollo italiano dedicato
a Luca Pacioli
Scriveva Luca Pacioli: mille migliara che fa secondo el volgo el
millione
I due sistemi sono comunque entrambi di origine europea e precisamente
francese. E' stato infatti Nicolas Chuquet (1445 - 1488) a coniare i
termini bilione e trilione per un milione di milioni e un milione di
bilioni, secondo il sistema europeo e sempre dai matematici francesi,
nel Seicento, arrivano gli stessi termini usati per indicare mille milioni
e mille bilioni. Il mercato economico sta portando verso una soluzione
comune, che per forza di cose è quella americana. I primi a cedere
ufficialmente sono stati gli inglesi, nel 1974, quando il primo ministro
Harold Wilson annunciò che il bilione, da quel momento in poi,
non avrebbe più indicato un milione di milioni, ma mille milioni.
Se questi numeri venissero espressi usando i prefissi suggeriti dal
Sistema Internazionale di misura, SI, non ci sarebbe invece possibilità
di confusione: 10^9 bytes è infatti un gigabyte e 10^12 bytes
un terabyte. Nella tabella sono riportati i prefissi riconosciuti in
tutti i paesi.
Nel 1991, in occasione della Conferenza
Generale dei Pesi e delle Misure sono stati adottati nuovi prefissi:
zetta e yotta rispettivamente per 10^21 e 10^24, zepto e yocto per 10^-21
e 10^-24. In questo modo, ad esempio, la massa di un elettrone è
9,109534 10^-28 grammi, e la massa del Sole è 1,989 10^33. grammi.
Oggi abbiamo forse un'idea più precisa delle dimensioni del nostro
Universo, almeno di quello visibile. Sappiamo almeno che il raggio dell'Universo
conosciuto è circa di 10^23 chilometri.
Per Paperone il numero più grande è il Fantastiliardo:
five multiplujillion,
nine impossibidillion, seven fantasticatrillion dollars and sixteen
cents
Uno dei numeri più grandi inventati dai matematici, è
il googol, 10^100, cioè uno seguito da cento zeri. E’
un numero proposto nel 1938 da Edward Kasner, un nome curioso, suggerito
all’autore dal nipotino di nove anni, un nome che ricorda quello
di uno dei più noti motori di ricerca, Google, volutamente collegato
a questo numero, per ricordare lo sterminato numero di pagine della
grande rete. Googol è un numero così grande da superare
il numero di tutte le particelle elementari contenute nell'Universo
valutate approssimativamente in 10^85. Più tardi venne coniato
il nome googolplex per un multiplo del googol: 10^googol, uno seguito
da un googol di zeri. Si è calcolato che per scrivere tutti gli
zeri del googolplex, tenendo conto che un libro normale di
trecento pagine può contenere circa 800 mila cifre, si riempirebbero
1,25 x 10^94 volumi.
Segnaliamo ancora due numeri usati effettivamente dai matematici nei
loro calcoli. Il primo è il numero di Skewe che si trova nell'analisi
della distribuzione dei numeri primi ed è 10^(10^(10^34)). Il
secondo è il numero di Graham per il quale abbiamo bisogno di
una notazione particolare. Se 3^3 indica 3 elevato a 3, con 3^^3 indichiamo
3^(3^3) che è uguale a 7.625.597.484.987, con 3^^^3 indichiamo
3^^(3^^3), cioè 3^(7.625.597.484.987^7.625.597.484.987). Se proseguiamo
per altri 63 passi con questo procedimento, otteniamo il numero di Graham,
che compare in topologia combinatoria. Ma in questo modo abbiamo semplicemente
costruito una successione di multipli che potrebbe continuare all'infinito,
ma con numeri che non hanno un nome. Il numero più grande pensato
dall'uomo, non il più grande in assoluto, ma quello con un nome
proprio che lo contraddistingua, è ancora un numero della religione
buddista, si chiama Asankhyeya e corrisponde a 10^140.
Federico Peiretti
Per saperne di più
Opere di Archimede, a cura di Attlio
Frajese, UTET, 1974 , pag. 441 - 470.
George Gheverghese, C'era una volta un numero, il Saggiatore,
2000, pag. 241 - 250.
Karl Menninger, A Cultural History of Numbers, MIT Press, 1977,
pag. 135 - 145.
Georges Ifrah, Storia universale dei numeri, Mondadori, 1983,
pag. 291 - 298 per i grandi numeri greci e pag. 408 - 410 per i grandi
numeri cinesi.
Carl Boyer, Storia della matematica, ISEDI, 1976, pag. 146
- 149.
John Conway e Richard Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, 1999,
pag. 52 - 54.
http://www.fpx.de/fp/Fun/Googolplex/
http://www.cryptosoft.com/snews/feb97/15029700.htm
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