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Bernoulli e il patto col diavolo
L’occasione per parlare di uno
dei più curiosi episodi della storia della matematica è
il trecentesimo anniversario della morte di Guillaume François
Antoine de L'Hôpital, marchese di Sainte-Mesme e conte d'Entremont,
nato a Parigi nel 1661, dove morì nel 1704. Rampollo di nobile
famiglia, ufficiale di cavalleria, fu costretto a lasciare l’esercito
a causa di una forte miopia, e in seguito si dedicò completamente
alla matematica, un interesse che comunque coltivava da tempo, a quindici
anni infatti aveva già risolto diversi problemi che erano stati
proposti da Pascal.
Siamo alla fine del XVII secolo, quello che viene considerata l’età dell’oro della matematica, il secolo più entusiasmante. Con Newton e Leibniz protagonisti di una rivoluzione che nella matematica, possiamo dire, ha avuto la stessa importanza che ebbero nella società l’invenzione della ruota o della stampa: l’analisi matematica, “un insieme di metodi – così lo descrive Keith Devlin nel suo bel libro Il linguaggio della matematica – per descrivere e trattare gli schemi dell’infinito: l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo […] Usando l’analisi comprendiamo degli schemi del movimento e del cambiamento che sicuramente corrispondono al movimento che osserviamo nel mondo, ma, in quanto schemi dell’infinito, esistono solo dentro al nostro cervello. Sono schemi che noi esseri umani abbiamo sviluppato per cercare di comprendere il nostro mondo”. Nel 1684 Leibniz pubblica Nova methodus
pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales
quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, un lavoro
che viene tradizionalmente considerato l'atto di nascita del calcolo
infinitesimale.
L’Hopital non certo era geniale come Jean Bernoulli, ma era in grado di capire l’eccezionale importanza della nuova scoperta e chiese a Bernoulli di insegnargli i nuovi procedimenti. Le lezioni vennero impartite a Parigi e nella casa di campagna del marchese, a Oucques. Il loro rapporto proseguì anche dopo il rientro a Basilea di Bernoulli il quale inviava a De L’Hopital le sue lezioni di analisi e gli appunti delle sue ricerche, ricevendone in cambio un lauto compenso mensile, corrispondente alla metà dello stipendio di un professore universitario dell’epoca. Ma c’era per questo il patto con il diavolo: Jean Bernoulli firmò infatti con il marchese un contratto capestro in base al quale si impegnava a risolvere tutti i problemi che De L’Hopital gli avrebbe sottoposto, a non rivelare a nessuno le sue scoperte e non parlare con nessuno del loro accordo.
De L’Hopital pubblicò nel 1696
il primo testo di calcolo differenziale, un libro la cui influenza dominò
praticamente tutto il Settecento, l’Analyse des infiniment
petits. Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes
courbes (1696). Nell’introduzione al libro L'Hôpital
riconosceva i suoi debiti nei confronti di Leibniz, Jacob Bernoulli
e Johann Bernoulli ma affermava che si basava unicamente sulle sue idee.
In realtà riprendeva almeno in parte alcuni teoremi scoperti
da Bernoulli, in particolare un teorema molto importante scoperto da
Bernoulli nel 1694, che porta a quella che è nota come la regola
di L’Hopital: “Il limite del rapporto di due funzioni entrambe
infinitesime o infinitamente grandi, per uno stesso valore della variabile,
è uguale al limite del rapporto delle derivate delle funzioni
per il medesimo valore della variabile, nell’ipotesi che quest’ultimo
esista”. E’ un libro di una chiarezza esemplare e ancora
oggi potrebbe essere presentato agli studenti come introduzione all’analisi.
Risalire alle radici storiche delle idee matematiche è molto
più utile che presentare una serie infinita e ripetitiva di esercizi
tutti uguali, senza alcuna giustificazione, quali si trovano nella maggior
parte dei libri di testo in adozione nei corsi di Analisi universitari.
Federico Peiretti
David Berlinski, I numeri e le cose. Un viaggio nel calcolo infinitesimale, Rizzoli, 2001. Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, 1981.
In rete si trova la riproduzione del testo
originale di De L’Hopital: De L’Hopital è autore di un
elissografo. Applet dell’Università di Nantes: I teoremi di L’Hopital in una lezione
di Giulio Barozzi, Università di Bologna: L’applet della “discesa brachistocrona”:
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la matematica come immaginazione
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