John Horton Conway e il gioco della matematica

di Federico Peiretti

John Conway (Foto di Peter Murphy)

"La maggior parte delle persone ritiene che la Matematica non sia altro che una serie di sgradevoli artifici meccanici, ma questo non è assolutamente vero! - afferma con grande convinzione John H. Conway - per me la Matematica è eccitante, è sensuale. Mi piace, e personalmente ne ricavo più piacere di quanto molta gente non ne tragga dall'arte. Anzi, mi sento come un artista. Mi piacciono le cose belle e queste sono lì, a portata di mano, l'uomo non le deve creare, ma soltanto scoprire. Io rimango sempre stupefatto di fronte alla bellezza della Natura. E la Matematica è Natura. Nessuno può aver inventato l'Universo matematico che è lì e aspetta soltanto di essere scoperto. E' una cosa pazzesca, straordinaria. Ad esempio, la Matematica, attraverso la successione di Fibonacci, mi spiega perché i petali della rosa sono sistemati in un certo modo e io ritengo di provare più piacere di altri nell’osservare una rosa perché conosco queste cose".

John Conway è nato in Gran Bretagna, a Liverpool, il 26 dicembre 1937. A tre anni, racconta sua madre, recitava già a memoria la tabellina del 2 e a scuola è sempre stato il primo della classe in tutte le materie. "Quello che mi attirò irresistibilmente verso la matematica fu il misterioso rapporto fra oggetti diversi, che ne è la caratteristica fondamentale - racconta Conway - C'è questo mondo meraviglioso di logica e relazioni, così difficile da vedere. Io posso vedere alberi, gatti e persone, ma c'è anche quest'altro mondo così potente, straordinariamente potente".
Barba e capelli incolti, sempre pronto a provocare e stupire l'interlocutore con i suoi giochi matematici, Conway è uno dei più geniali e anticonformisti matematici della Princeton University, dove si è trasferito nel 1986, da Cambridge, per occupare la cattedra di Matematica intitolata a John von Neumann. Il suo studio è una delle più evidenti rappresentazioni del caos. Mucchi di libri, fogli e riviste occupano ogni spazio, ci sono computer, appunti, tazzine di caffè, reticoli cristallini e altri modelli matematici in una grande confusione, in un angolo spicca una piramide costruita con palle da tennis e dal soffitto pendono grandi poliedri multicolori. A dispetto della sua eccellente memoria difficilmente riesce a ritrovare il pezzetto di carta sul quale ha appuntato l'importante risultato scoperto alcuni giorni prima e che non ha registrato da nessun'altra parte.

John Conway nel suo studio.

Questo è il ritratto che gli amici fanno di Conway e citano alcune delle sue frasi più famose:
"Penso di essere un Sibarita. Amo la bellezza e amo bere e mangiare bene… Anche se un infarto ha purtroppo cambiato qualcosa nella mia vita".
"I giochi non sono normalmente molto profondi ma talvolta, qualcosa che sembra frivolo si rivela poi un profondo problema strutturale. E questo è quello a cui siamo interessati noi matematici".
"Parte del piacere di essere matematico deriva dallo studio di cose banali, ma … condotto in modo chiaro e preciso".
"Normalmente, come matematici non sappiamo assolutamente nulla di quello che stiamo cercando di dimostrare finché non lo abbiamo dimostrato".

I suoi studi lo hanno portato a grandi risultati in campi diversi, come la teoria dei numeri, la teoria dei giochi e la teoria dei gruppi: "Un tempo mi occupavo di teoria dei gruppi e ognuno di questi - osservava, indicando i poliedri, in un'intervista del New York Times - rappresenta un tipo diverso di simmetria e la teoria dei gruppi è proprio lo studio delle simmetrie". Dallo studio di un reticolo a 24 dimensioni Conway è arrivato alla scoperta di un nuovo gruppo, come insieme delle simmetrie di un dato oggetto geometrico. Un cubo, ad esempio, ha 24 simmetrie, ci sono cioè 24 modi diversi di ruotarlo, per farlo ritornare nella stessa posizione di partenza. Ma il gruppo di Conway ha 1018 simmetrie. Trovare un nuovo gruppo è un compito estremamente difficile e in questo modo Conway si è assicurato la fama del genio.

John H. Conway in una caricatura di Simon J. Fraser

E' inoltre uno dei più eminenti studiosi di teoria dei nodi e ha inventato un nuovo insieme di numeri, i numeri Surreali, ai quali è arrivato partendo dallo studio dei numeri infinitamente grandi e infinitamente piccoli. E' arrivato alla scoperta importantissima di questi nuovi numeri nel 1970, quand'era ancora all’Università di Cambridge, mentre tentava di imparare a giocare a Go, un antichissimo gioco di scacchiera cinese. La strategia del Go è piuttosto complicata è può impegnare due bravi giocatori anche per diversi giorni.
Ma Conway intuì che il gioco poteva essere analizzato dopo averlo scomposto in una serie di giochi più semplici e scoprì che alcuni giochi si potevano interpretare come numeri. La stessa logica poteva essere applicata anche a molti altri giochi, come la dama o il domino, e Conway arrivò a definire una nuova famiglia di numeri il cui comportamento era analogo a quello di questi giochi.
"Fu una scoperta per me sconcertante. Era strano, pazzesco, ma era vero! Era un nuovo mondo, tutto da scoprire. Si potevano interpretare questi numeri - dice Conway - come un'estensione dei numeri reali, ma con nuove caratteristiche, “surreali”. Improvvisamente vidi i nuovi numeri che nessuno aveva mai visto prima. Ma essi esistevano già e il nuovo metodo di generazione dei numeri portava non solo all'insieme dei numeri reali, cioè ai numeri interi, alle frazioni e agli irrazionali come la radice di 2, ma andava oltre, fornendo una possibile rappresentazione dei numeri più grandi dell'infinito o più piccoli della più piccola frazione".
Un numero, secondo Conway, è una coppia di insiemi tali che ogni elemento del primo insieme è più piccolo di ogni elemento del secondo insieme. Conway parte dall'insieme vuoto, poi spiega che cosa significhi per lui "più grande" o "più piccolo" e successivamente costruisce i numeri interi, i razionali e infine i numeri infinitamente grandi e infinitamente piccoli.
Il nome, "surreali", è stato dato da un amico di Conway, Donald Knuth, un informatico, autore di un libro divulgativo, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and found Total Happinessi, dedicato ai nuovi numeri. Un'indagine, nata per gioco, ha portato a una grande scoperta matematica, i numeri surreali, che non sono ancora stati analizzati a fondo nelle loro innumerevoli implicazioni. Molti, tra i non matematici, possono ritenere a torto che i numeri complessi siano il termine ultimo nei successivi sviluppi degli insiemi numerici, mentre la scoperta di Conway dimostra come anche questi siano in continua evoluzione.

Conway è sempre stato affascinato dai giochi e come vedremo, ne ha inventati alcuni bellissimi. Uno di questi è Il gioco della vita, forse il più bel gioco che sia stato inventato dopo gli scacchi, un gioco troppo importante per parlarne in questo articolo. Gli dedicheremo uno spazio particolare. Ha anche scritto un libro, On Numbers and Games, ONAG, come viene familiarmente chiamato, nel quale studia le strategie vincenti, sviluppando contemporaneamente strategie per la comprensione della teoria dei numeri.

Doomsday e la memoria in gioco

"Un giorno decisi di imparare a memoria le prime mille cifre del pi greco - ricorda Conway - stimolato da mia moglie Larissa, una matematica di origine russa, che aveva bisogno del valore di p e non ricordava che 3,14. Le insegnai le prime cento cifre che ricordavo già a memoria. Ma questo a lei non bastava e, visto che anch'io non sapevo andare oltre, decidemmo insieme di programmare lo studio di cento nuove cifre ogni giorno, per arrivare almeno a mille, da imparare nei momenti in cui eravamo insieme, al di fuori del nostro lavoro".
"E' stato divertente - continua Conway - perché ogni domenica facevamo una passeggiata fino a Grantchester, una graziosa, piccola cittadina vicino a Cambridge e lungo il percorso recitavamo a turno i gruppi successivi di 20 cifre del p, come fossero piccole poesie. Venti cifre io e venti cifre mia moglie e così di seguito, alternandoci nella recita: in questo modo siamo arrivati a memorizzare le mille cifre del pi greco".
Conway conosce inoltre la posizione delle stelle per ogni giorno dell'anno, ma per stupire i suoi ospiti la prima domanda inevitabilmente è sempre: "Quando sei nato?". E con un calcolo, eseguito in pochi secondi, annuncia trionfante a quale giorno della settimana corrisponde la data indicata. Per questo calcolo Conway ha creato un curioso e veloce algoritmo, facile da applicare.
Vediamo il metodo di Conway, limitandoci dapprima al calcolo per il ventesimo secolo. Ci sono delle date per ogni mese dell'anno che cadono sempre nello stesso giorno che Conway ha battezzato Doomsday, ovvero "il giorno del Giudizio" specifico di ogni anno. Inoltre esiste un altro Doomsday specifico per ogni secolo che, nel caso del ventesimo secolo è il Mercoledì.
Il segreto del metodo di Conway sta proprio nel ricordare queste date, collegate al giorno fisso della settimana. Alcune sono facili: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12, sono tutti mesi pari, per i mesi dispari invece si hanno le date 9/5, 5/9, 11/7 e 7/11 e si osservi che la differenza fra il giorno e il mese è costante e sempre uguale a 4, ad esempio, 9 - 5 = 4. Per Marzo il Doomsday è 0/3, ovvero il giorno zero di Marzo, che non esiste, ma sarà il giorni prima di 1/3, cioè l'ultimo giorno di Febbraio. Un po' più difficili da ricordare sono le date di Gennaio e Febbraio, diverse per gli anni ordinari e per quelli bisestili. Per gli anni ordinari sono 0/2, l'ultimo giorno di gennaio, e 1/3, mentre per gli anni bisestili sono 2/1 e 4/1.
Riportiamo in tabella le date indicate, quelle del Doomsday.

Vediamo ora come si calcola il Doomsday di ogni anno del secolo ventesimo, 19du. Si devono svolgere i seguenti calcoli:
· Dividere il numero formato dalla cifra dei decimali e da quella delle unità, du, per 12: sia Q il quoziente e R il resto.
· dividere il resto ottenuto per 4: sia S = R/4
· Sommare Q, R ed S: sia T = Q + R + S
· Contare T giorni dal Doomsday del secolo, cioè in questo caso dal Mercoledì, e quello che si ottiene è il Doomsday dell'anno.

20 luglio 1969: Neil Armstrong, il primo uomo sulla Luna, insieme a Buzz Aldrin, mentre piantano la bandiera degli Stati Uniti sul suolo lunare.

Per trovare il giorno di una data qualsiasi è sufficiente, a questo punto, prendere come riferimento la data del Doomsday più vicina trovando poi facilmente il giorno corrispondente alla data indicata.
Un esempio, chiarirà meglio l'algoritmo. Vediamo in che giorno della settimana il primo uomo, Neil Armstrong, mise il piede sulla Luna. Era il 20 luglio 1969.
Procediamo come indicato. Il numero delle ultime due cifre dell'anno è 69, che dobbiamo dividere per 12:
69 : 12 = 5. Quindi Q = 5 e R = 9 e S = 2
Q + R + S = 5 + 9 + 2
Contiamo 16 giorni dopo il Doomsday del secolo, cioè il Mercoledì, e abbiamo il Doomsday dell'anno 1969: Venerdì. A questo punto sappiamo che 11/7, 18/7 e 25/7 erano di venerdì e quindi il primo uomo ha messo piede sulla Luna di domenica.

Riportiamo ora in tabella il Doomsday degli altri secoli, con il limite però del calendario gregoriano, il nostro calendario attuale introdotto nel 1582, ma soltanto nel 1752 nei paesi di lingua inglese e nel 1919 in Russia. Per il calendario precedentemente in uso, quello giuliano, dovremo ancora fare un discorso a parte.

Il Doomsday del secolo si ripete ogni quattro secoli. E' infatti identico nel 15du, nel 19du, nel 23du ecc.

Ad esempio, calcoliamo il giorno della settimana in cui avvenne la presa della Bastiglia. La data è il 14 luglio 1789.
Prendiamo du, il numero delle ultime due cifre dell'anno, e dividiamolo per 12: 89/12 = 7; Q = 7, R = 5, S = 1.
Quindi Q + R + S = 7 + 5 + 1 = 13.
Contiamo ora 13 giorni a partire dalla Domenica che è il Doomsday degli anni 17du e otteniamo Sabato, che è il Doomsday del 1789. Ora, nel luglio del 1789, era sabato l'11, il 18 e il 25. Il 14 luglio cadde quindi di martedì.
Resta ancora, come dicevamo, la determinazione del giorno per le date più antiche, quelle riferite al calendario giuliano, introdotto da Giulio Cesare circa duemila anni fa.
Limitiamoci alla regola pratica, rimandando il lettore per ogni spiegazione al libro di Conway e ai siti internet segnalati al fondo del capitolo.
Dobbiamo modificare il calcolo del Doomsday del secolo, visto per il calendario gregoriano, tenendo presente il conto diverso degli anni bisestili.
Per gli anni mcdu del calendario giuliano, dobbiamo sottrarre al calcolo solito, Q + R + S, tanti giorni quanti corrispondono al numero formato dalle cifre delle migliaia e delle centinaia, mc. Il risultato ottenuto saranno i giorni da contare a partire dalla Domenica per ottenere il nuovo Doomsday.
Ad esempio, il Doomsday giuliano del 1582 si calcola nel modo seguente:
82/12 = 6; Q = 6, R = 10 e S = 2. Q + R + S = 18, 18 - 15 = 3.
Se partiamo dalla Domenica e aggiungiamo 3 giorni, otteniamo Mercoledì, il Doomsday cercato. Se l'ultimo giorno del calendario giuliano, prima della riforma, è stato il 4 ottobre 1582 e inoltre dai nostri calcoli risulta che era Mercoledì il 10 ottobre e quindi anche il 3 ottobre, ne deduciamo che il 4 ottobre era un Giovedì.
Il giorno seguente, il 15 ottobre 1582, era il primo giorno del nuovo calendario gregoriano, per il quale sappiamo che il Doomsday degli anni 15du era Mercoledì. Aggiungiamo quindi 18 giorni (il numero che abbiamo appena calcolato) al Mercoledì e otteniamo il Doomsday del 1582: Domenica. Quindi il 10 ottobre era di Domenica, il 15 ottobre cadde quindi di Venerdì.
Abbiamo così scoperto che, per una curiosa coincidenza, al Giovedì del 4 ottobre 1582 del calendario giuliano, seguì il Venerdì 15 ottobre 1582 del calendario gregoriano. La maggior parte delle persone trovò quindi logico che al Giovedì seguisse il Venerdì, ma un po' meno chiaro risultò sicuramente la scomparsa di dieci giorni, il salto dal 4 al 15 ottobre. Dieci giorni rubati per i quali ci furono molte proteste.

Germogli

Il primo che vediamo dei giochi di Conway, è un gioco molto semplice, un gioco "carta e matita", ma dalle molte implicazioni matematiche. Il suo nome è Germogli ed è stato inventato nel 1967 da Conway e da Michael Paterson quando entrambi erano ancora all'Università di Cambridge. "Il giorno in cui i germogli incominciarono a germogliare - ricorda Conway - sembrava che tutti, tra una lezione e l'altra, al caffè o nella pausa per il tè fossero presi dal nel nuovo gioco. In ogni angolo c'erano gruppi di studenti e professori che analizzavano movimenti e strategie dei Germogli".
Per questo gioco si tracciano su un foglio alcuni punti. Sette o otto sono più che sufficienti per una bella partita, ma noi ci limitiamo a tre (rossi in figura), per una prima, più semplice, analisi del gioco.
A turno due giocatori tracciano una linea che unisce fra loro due punti qualsiasi o che ritorna allo stesso punto di partenza, segnando poi sulla linea tracciata un nuovo punto (in nero, in figura).
Le regole da osservare sono soltanto due:
1. Ogni linea può avere una forma qualunque, ma non deve intersecare le altre linee già tracciate, né può attraversare i punti in gioco.
2. Da ogni punto non possono partire più di tre linee.
Vince il giocatore che traccia l’ultima linea e che lascia quindi l’avversario bloccato, nell’impossibilità di tracciare nuove linee.
In figura sono evidenziate, con linee tratteggiate due mosse proibite. La prima interseca infatti un’altra linea e la seconda esce da un punto già bloccato da altre tre linee.
Il disegno che nasce dall’insieme delle linee giustifica il nome del gioco, che in un primo tempo, alcuni studenti di Cambridge avevano proposto di chiamare Morbillo, perché il gioco è contagioso e si realizza con un insieme piccoli punti.
A questo punto non resta che provare il gioco, augurandoci che il lettore lo trovi divertente. Ma per chi è interessato ai suoi aspetti matematici e, in particolare per il giovane studente che vuole cogliere questa occasione per un esercizio matematico non troppo impegnativo, riprendiamo l'analisi del gioco, fatta da Conway stesso nel suo libro On Numbers and Games.
Conway dimostra dapprima come il numero massimo di mosse, con n punti iniziali, sia 3n - 1. Infatti, secondo le regole del gioco, da ogni punto possono uscire soltanto 3 linee e quindi all’inizio, con n punti, ci saranno 3n mosse possibili. Ogni mossa toglie a 2 punti un possibile collegamento, quello da cui parte e quello a cui arriva la linea, ma l’aggiunta di un punto sulla linea stessa crea una nuova possibilità di collegamento. Ogni mossa "brucia" quindi due collegamenti, ma ne crea uno nuovo, quindi ad ogni mossa le possibilità del gioco diminuiscono di un’unità. Si deve ancora tenere presente che il gioco termina obbligatoriamente quando non rimane che un solo punto di collegamento disponibile e di conseguenza non è più possibile collegarlo ad altri punti liberi.
In conclusione il numero massimo di mosse possibili è 3n - 1. Con un ragionamento simile si potrebbe dimostrare che il numero minimo di mosse è 2n (un esercizio che lasciamo al lettore). Ad esempio, un gioco con 9 punti ha all’inizio 27 possibili collegamenti e quindi un numero massimo di 26 mosse e minimo di 18.
Il gioco a un punto è naturalmente il più banale, ma si presta ad alcune considerazioni topologiche utili per arrivare successivamente alla costruzione di possibili strategie di gioco con più punti.

La più semplice partita a Germogli, con un solo punto iniziale. Si risolve in due mosse, con la vittoria del secondo giocatore, nelle due soluzioni a) oppure b).

Il primo giocatore ha una sola mossa possibile: unire il punto a se stesso. Successivamente il secondo giocatore ha due mosse possibili, entrambi vincenti: unire i due punti con una linea interna alla curva chiusa oppure esterna alla curva stessa. Le due mosse sono topologicamente equivalenti. Se si pensa infatti di giocare sulla superficie di una sfera, si può immaginare di fare un buco sulla superficie all’interno della curva chiusa e di deformare poi la superficie stessa in un piano, in modo che tutti i punti interni alla curva risultino esterni e viceversa.

Situazione di partenza
Prima mossa	Seconda mossa
Terza mossa	Quarta mossa
Quinta mossa	Sesta mossa
Settima mossa	Ottava mossa
Esempio di una partita a Germogli, soltanto con tre punti iniziali. Alla fine, il punto indicato dalla freccia non ha più punti liberi ai quali collegarsi. I collegamenti tratteggiati sono proibiti.

Non esiste una strategia generale dei Germogli, ma l’analisi topologica del gioco può portare a scoprire strategie vincenti, suggerendo al giocatore quali curve chiuse o aperte sia meglio tracciare per bloccare l’avversario.
Quello che all’apparenza sembra un gioco molto elementare si rivela ad una più attenta analisi un’ottima introduzione alla topologia, dimostrando inoltre che la matematica è sempre divertimento e non calcolo e "aride formule".

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