Sono
circa trent'anni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire
in che modo il mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare
matematica. Per molti motivi questa è una domanda interessante e inconsueta.
Il motivo più interessante riguarda il tempo. L'evoluzione ha avuto luogo
attraverso centinaia, migliaia e milioni di anni, mentre la matematica è
molto recente. I numeri hanno diecimila anni e la maggior parte della matematica
ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è troppo breve perché
possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quando facciamo
matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamo necessariamente
usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia
di anni prima che la matematica venisse inventata. E la domanda che mi sono
posto, quando ho scritto Il Gene delle Matematica è la seguente:
"Come hanno fatto i nostri antenati ad acquisire il pensiero matematico?"
Ho impiegato parecchi anni per riuscire a trovare una spiegazione convincente:
quella che ho pubblicato nel libro Il Gene delle Matematica, edito in
Italia da Longanesi.Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi se voi non siete capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedete quel gene.
Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con l'abilità matematica, e questa è in noi, e aspetta soltanto di emergere. Il pensiero matematico è un'abilità innata, che abbiamo fin dalla nascita. Le domande specifiche che mi pongo sull'abilità matematica sono le seguenti. Come ha fatto il cervello umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervello ha acquisito questa abilità? E quale vantaggio può aver dato questa abilità ai nostri antenati, nella selezione naturale?
Come per qualunque altra spiegazione riguardante l'evoluzione, non possiamo essere sicuri che io abbia dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sull'evoluzione umana e culturale, e sulla psicologia della matematica, e questo restringe e delimita in modo preciso qualsiasi possibile spiegazione. Quindi la mia versione potrà essere difettosa in qualche punto, anche se sono piuttosto fiducioso che possa essere vera.
Vediamo meglio qual è l'idea che descrivo nel libro. L'abilità matematica non è un'unica abilità, ma è piuttosto un'insieme di molte abilità. Quindi il primo passo della mia analisi è stato quello di suddividere questa abilità nelle molte abilità, diverse e individuali, che la componevano. Poi, mi sono chiesto che cosa sia stato in termini storici e di evoluzione a portare i nostri antenati all'acquisizione di tali abilità? Quando sono state acquisite? E come e quando si sono collegate fra loro queste singole abilità per darci la matematica? E' un po' come fare una torta, prima ho raccolto tutti gli ingredienti, poi ho spiegato come mescolarli per fare la torta. Ma devo dire che sono molto più bravo come matematico che come cuoco.
Ho elencato nove diverse capacità mentali. Alcune sono connesse tra di loro, altre sono invece separate. Innanzitutto, vi elencherò semplicemente quali sono queste capacità, poi ne illustrerò alcune più in dettaglio.
Numero 1: il senso del numero. Numero 2: l'abilità numerica. Numero 3: l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda. Numero 4: il senso di causa ed effetto. Numero 5: l'abilità di costruire e seguire una catena causale di fatti o di avvenimenti. Numero 6: l'abilità algoritmica (un esempio di algoritmo è l'insieme delle regole che si devono seguire per moltiplicare fra loro due numeri). Numero 7: l'abilità di gestire concetti astratti. Numero 8: l'abilità di ragionare in modo logico. Numero 9: l'abilità di ragionare sulle relazioni.
Quelle che seguono sono le domande che ci dobbiamo fare su queste nove capacità.
Domanda numero uno: quando si sono evolute queste nove capacità mentali?
Domanda numero due: quale valore, in termini di sopravvivenza, offrivano ai nostri antenati?
Domanda numero tre: che cosa le ha unite per dare l'abilità del pensiero matematico?
Ci
sono volute molte pagine nel libro per dare le risposte, ma nel mio intervento
esporrò soltanto le idee chiave di quella lunga spiegazione.La prima delle nove capacità è il senso del numero. Questo ha quasi niente a che fare con i numeri, ma significa semplicemente avere la capacità di capire che insiemi di oggetti possono avere misure diverse. Ci sono quattro persone sul palcoscenico. Io non so quante persone ci siano qui in sala, ma so che voi siete sicuramente più numerosi di quelli che sono qui con me sul palco. Non ci vogliono i numeri per capire che voi siete più numerosi di noi. Il senso del numero non richiede i numeri, e molti animali possiedono questa capacità.
Ci sono molti motivi per cui può essere utile per un animale avere questo senso del numero. Ad esempio, per un piccolo gruppo di animali, è importante sapere se un altro gruppo di animali che li sta minacciando è più grande o più piccolo del loro. Oppure per un animale che vive mangiando frutta, ha senso individuare e arrampicarsi sull'albero che ha più frutti.
Il senso del numero si trova anche nei bambini molto piccoli. E' facile verificarlo direttamente. Se qualcuno di voi ha un fratellino di due o tre anni, può provare a mettergli di fronte due mucchietti di caramelle, uno piccolo e l'altro più grande, e vedere quale dei due sceglie il bambino. Sicuramente sceglierà il mucchietto più grande. Il bambino non ha bisogno di contare le caramelle per capire quale dei due mucchietti ne contiene di più.
Ma per i bambini, il senso del numero è ancora più sorprendente.
Nel 1992, nella sua tesi di dottorato al MIT in Massachussets, Stati Uniti, Karen Wynn è arrivato a risultati che hanno stupito gli psicologi e imatematici di tutto il mondo. Ha dimostrato che i bambini piccoli, in questo caso di cinque o sei mesi, non soltanto hanno il senso del numero, ma sanno che 1 più 1 fa 2, che 3 meno 2 fa 1 e conoscono tutta l'aritmetica, l'addizione e la sottrazione, per i numeri 1, 2 e 3. In seguito, altri psicologi hanno dimostrato che i neonati di due giorni possiedono la stessa abilità.
La domanda interessante è: "Come facciamo a sapere questo?" Sembrerebbe impossibile sottoporre un neonato di due giorni a una verifica matematica, invece lo è. Karen Wynn ha incominciato con il sistemare dei bambini di cinque mesi davanti a un teatrino delle marionette. Il palcoscenico era nascosto da uno schermo. Il bambino vedeva una mano che entrava di lato, con un pupazzo in mano. La mano nascondeva il puapazzo dietro lo schermo. Poi il bambino vedeva un'altra mano con un altro pupazzo. In tal modo aveva visto l'azione di 1 più 1. Poi lo schermo si abbassava e il bambino vedeva 2 pupazzi e pensava, "OK". Subito dopo, il bambino vedeva 2 pupazzi ma, prima di abbassare lo schermo, un'assistente aggiungeva un altro pupazzo, oppure ne toglieva uno. Ora quando si abbassava lo schermo, il bambino vedeva 3 pupazzi oppure 1 e si dimostrava sorpreso. Qualcosa non andava per il verso giusto! Il bambino aveva visto 1 più 1. Sapeva che la risposta doveva essere 2. E quindi era sorpreso quando vedeva una risposta sbagliata. Con questo metodo ed altri simili, gli psicologi hanno dimostrato che i bambini piccoli, persino all'età di due giorni, hanno il senso del numero e conoscono l'aritmetica per i numeri 1, 2 e 3. Quindi, come dicevamo, è possibile fare una verifica matematica anche con i bambini più piccoli.
Adesso vediamo la seconda delle nove capacità, l'abilità numerica. Questo sì che richiede i numeri. Per quanto ne possiamo sapere, soltanto gli esseri umani hanno questa abilità, tranne alcuni casi molto limitati di altri essere viventi. Gli scimpanzé e le grandi scimmie dimostrano una certa conoscenza dei numeri. Infatti, se si pone uno scimpanzé di fronte al teatrino delle marionette e gli si fanno vedere le stesse cose, questo si comporta un po' come il bambino piccolo, proposto da Karen Wynn. Ma con altri animali questo non è così evidente come con gli esseri umani. Gli animali che sembrano avere il miglior senso del numero, oltre agli esseri umani, sono gli uccelli.
Per quanto ne possiamo sapere, e abbiamo molte prove, i numeri in sé dipendono dal linguaggio. Chiunque abbia imparato una lingua straniera sa che, anche quando la parla correntemente, risulta difficile capire il numero telefonico comunicato da una persona. Infatti, quando parliamo una lingua straniera e sentiamo un numero, automaticamente lo traduciamo o nella nostra lingua oppure nei simboli 1, 2, 3 ecc. Alcuni anni fa, lo psicologo cognitivo francese Stanislas Dehaene ha fatto uno studio, al MIT, con una serie di test a persone bilingui russo-inglesi, sulla loro conoscenza dei numeri e ha verificato che una persona ricorda i numeri nella lingua in cui li ha imparati. Quindi sembra che i numeri siano essenzialmente parti del linguaggio, anche se sono parti molto speciali. Nel mio libro parlo a lungo dell'abilità numerica, ma oggi mi devo limitare a quest'unica semplice spiegazione.
Un'altra
delle nove capacità è l'abilità di ragionare sullo spazio
che ci circonda. Qualunque creatura che si muova deve possedere questa abilità.
Se la mia abilità di ragionare sullo spazio che mi circonda fosse errata,
potrei fare tre passi avanti dal punto in cui mi trovo in questo momento e cascherei
giù dal palco. Un'altra della nove capacità è l'abilità di ragionare sulle relazioni, e ce ne sono di diversi tipi. Un tipo di rapporto è quello di una cosa sopra l'altra. Oppure di una persona alla sinistra dell'altra. Ci sono anche i rapporti tra e sulle persone. E questi rapporti tra persone sono molto più complicati degli altri tipi di rapporto che emergono in matematica. Forse due delle operazioni mentali più difficili sono quella dell'utilizzo del linguaggio per capire i rapporti familiari e per capire i rapporti tra le persone. Questi rapporti, come dicevo, sono molto più complicati di quelli matematici. I nostri antenati hanno acquisito questa abilità di ragionare sui rapporti per diverse ragioni. Una di queste è il fatto che la comprensione dei rapporti umani rappresenta il modo in cui l'evoluzione ha portato gli esseri umani a collaborare. Non siamo gli animali più grandi e più veloci, né quelli con le unghie o le zanne più affilate, e non abbiamo neanche un guscio robusto che ci protegga. Abbiamo però un cervello, che usiamo per pensare, per tenerci lontano dai pericoli, per programmare il nostro futuro e per collaborare con i nostri simili. Ed è questa collaborazione che viene supportata dall'abilità di capire i rapporti umani. Se ti conosco, forse sono disposto a collaborare con te. Se mio fratello conosce tuo cugino, forse sono disposto a collaborare con te.
La capacità di cui vogliamo ora parlare è quella di gestire i concetti astratti. Tutti sanno, immagino, che la matematica è difficile. Perché? Lo è l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda? No, questo lo sappiamo fare tutti. Il senso del numero? No. L'abilità numerica? No, abbiamo dimostrato che la possedevamo già all'età di due giorni. Se pensate alle nove abilità che ho enunciato, quella chiave, la più complicata, è l'abilità nel gestire i concetti astratti. Il motivo per cui questa è difficile è piuttosto ovvio. Il cervello umano si è evoluto nel giro di centinaia di migliaia di anni per arrivare a pensare al mondo fisico, agli animali nel mondo e, più recentemente, agli altri esseri umani. Il nostro cervello fa queste cose da centinaia di migliaia di anni ed è diventato piuttosto bravo nel farle. Abbiamo inventato i numeri soltanto diecimila anni fa. Il resto della matematica ha soltanto 2500 anni. Tutti i concetti astratti, come i numeri, o gli altri concetti astratti della matematica, sono cose molto recenti, sulle quali il nostro cervello ha appena iniziato a pensare. Il cervello trova difficoltà perché non si è sviluppato per pensare a questo genere di cose. Purtroppo per le persone che devono fare un corso di matematica, e a loro questo non piace o addirittura li spaventa, proprio questa capacità di gestire i concetti astratti, che il cervello trova così difficile, risulta la capacità chiave. Nel libro dimostro che è l'equivalente della capacità per la lingua. Questa dimostrazione è lunga e complicata e alcune persone non sono d'accordo sulle mie conclusioni. Ma io penso che siano loro a sbagliare! La mia ipotesi è che il passo cruciale nello sviluppo dell'abilità matematica sia stato quello di gestire concetti sempre più astratti, non perché la matematica richieda un ragionamento più complicato. Naturalmente, alcuni concetti matematici sono complicati. Ma molte cose nella vita sono complicate, dai film ai romanzi, al teatro, alla musica e all'arte.
Come disciplina, se volete capire cos'è la matematica e come viene percepita da un matematico, dovreste pensarla come una specie di versione non reale, immaginaria di certe cose nel mondo reale. Per esempio, se guardo alla mia destra vedo una finestra, che ha una forma più o meno tonda. Se guardassi il cerchio della finestra da vicino, con la lente di ingrandimento, vedrei che il contorno non è una curva perfettamente liscia. Se misurassi il diametro in direzioni diverse troverei che è diverso in ogni direzione. Non è un cerchio perfetto. Ma ha un colore, è nero, ha una temperatura, è freddo, ha una superficie, liscia. Questo cerchio ha molte caratteristiche.
Come matematico, nella mia mente ho un'interpretazione immaginaria del cerchio: un cerchio matematico. Per alcuni versi , è molto noioso questo cerchio matematico, non ha colore, temperatura o superficie ma è un cerchio perfetto, il diametro è uguale in tutte le direzioni. Nella matematica, per esempio in geometria, i matematici studiano interpretazioni idealizzate, immaginarie, di cerchi che esistono nel mondo reale.
Qualche volta mi piace descrivere la matematica come la scienza dei modelli. Il matematico osserva le cose nel mondo intorno a sé e poi ne estrae delle idealizzazioni astratte e pensa a queste idealizzazioni. Quel mondo matematico esiste soltanto nella mente umana, ma viene dal mondo in cui viviamo. Nel caso del cerchio, soltanto noi possiamo vedere il modello che ne abbiamo estratto. Alcuni modelli li sentiamo con le nostre orecchie. Molti possiamo vederli soltanto con la nostra mente. Per esempio, se uscite (non prima delle fine del seminario, per favore…) e guardate in su, potreste vedere un aeroplano. I vostri occhi non possono vedere le forze che lo tengono su, ma con le equazioni matematiche, la vostra mente può vedere tali forze. La matematica rende visibile ciò che è invisibile. Come facciamo a fare questo con la matematica? Prendiamo delle capacità mentali, sviluppate per muoversi nel mondo fisico e sociale e le applichiamo al ragionamento su questo finto mondo astratto creato dalla nostra mente. Notate che continuo ad usare la parola "immaginare" e la parola "creare". La maggior parte delle persone pensa che la matematica sia il ragionamento, passo dopo passo. Non è così. Il più delle volte la matematica è creatività e fantasia. La cosa difficile sarà poi quella di decidere se la propria creatività e fantasia abbia fatto cose utili oppure futili?
Se un regista fa un film, ci sono due modi diversi per decidere se il regista ha fatto un buon lavoro. Secondo il modo europeo devono esserci molte persone che dicano che è un buon film. Secondo il modo americano il film deve aver incassato tre milioni di dollari nel primo weekend! (Ho due passaporti, uno americano e uno europeo! Forse dovrei procurarmene anche uno australiano…)
Un fisico che sviluppa una teoria fisica, usando la propria fantasia e la propria creatività, controlla se la teoria è giusta, facendo un esperimento in laboratorio. Il matematico controlla se la propria fantasia e creatività hanno prodotto qualcosa di buono scrivendo una prova logica, per controllare se è corretta o no. Il pensiero logico controlla se è giusta o no, quindi scrivere una prova logica è come andare a vedere il film. La creatività sta nel fare il film, ma anche nel pensare a idee matematiche. Quindi la matematica non è soltanto una materia creativa, è la materia più creativa della storia umana.
La
storia della matematica o quella degli esseri umani, ci ha portato a sviluppare
questa abilità. Se credete nella spiegazione che ho dato nel libro e
che oggi ho descritto, sapete qual è il segreto del fare matematica.
Un matematico è qualcuno che vede la matematica come fosse una telenovela. Se non mi credete, fate questo esperimento. Nella biblioteca dell'università, scegliete un libro di matematica ed apritelo a caso. Vedrete della matematica. Quanti oggetti sono in discussione? Quanti rapporti tra questi oggetti sono importanti per l'argomento? Quant'è complicata la rete di rapporti tra loro? Quant'è complicata la deduzione logica? Prendete nota delle risposte. Poi guardate la prima telenovela che vi capita in TV. Fate le stesse domande. Quanti personaggi? Quanti rapporti esistono fra loro? Quant'è complessa la rete di rapporti? Quant'è complicata la trama? In tutte e quattro le categorie, la telenovela è molto più complicata della matematica. Perché non abbiamo difficoltà a seguire una telenovela, ma la matematica, che dovrebbe esser più semplice, sembra invece così difficile? Se non vi siete addormentati finora dovreste conoscere la riposta. Le telenovela sono delle interpretazioni finte del mondo reale - la matematica è un'interpretazione finta di parti del mondo reale. Ma i personaggi della telenovela sono molto simili a voi e a me, tranne che sono più sterilizzati e, almeno nel mio caso, più giovani!
La telenovela tratta la vita, i rapporti umani, la matematica tratta invece di pure astrazioni. Nella telenovela matematica i personaggi non sono persone, ma sono oggetti della matematica, cose come numeri, figure geometriche, vettori, spazi topologici, funzioni analitiche ecc. E i fatti, i rapporti nella telenovela matematica non sono nascite, morti, matrimoni, storie d'amore e rapporti di affari, ma sono fatti matematici e rapporti tra oggetti matematici. Oggetti che non avete mai visto, toccato o sentito. I fatti matematici sono cose come: Gli oggetti A e B sono uguali? Qual è il rapporto tra X e Y? Trovate un oggetto X con la proprietà P. Risolvete l'equazione in X. Tutti gli oggetti di tipo D hanno la proprietà P. Quanti oggetti di tipo Z ci sono? Ora, se non vi piace la matematica, questo sembra già molto noioso. Ma immaginate che A, B, X e Y siano personaggi, con tutti i loro rapporti, di una telenovela. Quello che abbiamo sono gli elementi fondamentali di una trama. La telenovela ha dei personaggi, dei rapporti e una trama. e anche la matematica ha dei personaggi, dei rapporti e una trama. Ci sono però due differenze, nella telenovela i personaggi, i rapporti e la trama sono molto complicati mentre nella matematica sono molto semplici. Ma nella telenovela i personaggi, i rapporti e la trama ci sono familiari, fanno parte della nostra vita quotidiana, mentre nella matematica dobbiamo crearci nella nostra mente tutto un cast di personaggi, dobbiamo avere presenti tutte le loro proprietà e dobbiamo tenere tutto presente, mentre seguiamo la trama nella nostra mente. E' un po' come seguire la telenovela senza accendere la TV.
Il cervello di un matematico non è diverso dal cervello di qualsiasi altra persona. Semplicemente, i matematici sono delle persone che hanno trovato il modo di usare il cervello per pensare a questi oggetti, nuovi ed astratti. I matematici pensano agli oggetti matematici e ai loro rapporti usando le stesse facoltà mentali che altri usano per pensare allo spazio fisico ed alle altre persone, oppure per guardare una telenovela. Naturalmente, non sto dicendo che la matematica sia facile. E non sto dicendo che tutti possano essere bravi in matematica. Tutti avranno invece abilità diverse.
Per esempio, io ho un paio di gambe, posso usarle per camminare e per correre abbastanza velocemente. Non potrei mai gareggiare nella finale dei 1500 metri, ai giochi olimpici. Anche se mi allenassi per molti mesi, non riuscirei mai ad arrivare a gareggiare nei giochi olimpici. Ma quando uso le mie gambe per correre, sto facendo la stessa azione del finalista dei giochi olimpici. Ed è la stessa cosa con la matematica, tutti hanno un cervello, questo cervello può fare una certa quantità di matematica, nello stesso modo in cui le vostre gambe possono camminare o correre. Forse non diventerete mai dei matematici famosi e non correrete nella finale dei 1500 metri ai giochi olimpici, ma soltanto perché non potete vincere una medaglia d'oro, questa non significa che non dovete fare esercizi, correre e magari partecipare ad altre gare. Potrete divertirvi lo stesso con l'atletica, senza vincere le olimpiadi. E la stessa cosa vale per la matematica. Grazie.