3. Diffidenza verso lo zero

Le operazioni con lo zero hanno sempre creato grossi problemi agli studenti. Lo sapeva bene Cesare Zavattini che così racconta, in Io sono il diavolo, Bompiani 1974:

Verso la fine dell’anno [il maestro] spiegò la moltiplicazione.
“uno per zero uguale a zero”.
Il gesso stridette sulla lavagna facendo fremere la lingua dei fanciulli e gli si spezzò fra le unghie.
Un bambino guardò i compagni che lo incitavano con gesti - avevano le gote rosse - e alzatosi disse:
“Uguale a uno”.
Il maestro rimase un minuto in silenzio davanti al bambino intimorito. Ebbe la voglia di fare un balzo dalla cattedra ai banchi, di mordere gli agnellini, ma si trattenne pencolando verso di loro.
“Uno per zero uguale a zero”, gridò. Le sue braccia toccarono il soffitto e l’ombra delle braccia percorse i muri, passò sui volti spauriti, uno si mise a piagnucolare.
Suonò la campanella, timidi i bambini si disposero in fila secondo il solito e all’ordine del caposquadra segnarono il passo sollevando polvere rossa dall’impiantito in attesa dell’avanti-march del maestro fermo a pugni chiusi con un gran dubbio in mente.

Forse non è difficile spiegare perché “uno per zero è uguale a zero”, ma le cose si complicano se dobbiamo spiegare la divisione di un numero per zero.

Rene Magritte, L’idée, 1966

Se si prova, per gioco, a chiedere agli amici quanto fa “sette diviso zero” si ottengono normalmente risposte errate, come “sette” oppure “zero”. Ma è sufficiente ricordare che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione e che “otto diviso due fa quattro” perché “quattro per due fa otto” (e “sette diviso zero” non può fare sette perché “sette per zero non fa sette” e neanche zero, perché “zero per zero non fa sette”) per mettere in crisi chi ci ha dato queste risposte.
Nel IX secolo dopo Cristo, un matematico indiano, Mahavira, esponendo le regole del calcolo delle quattro operazioni con lo zero, scriveva:
“Un numero moltiplicato per zero, dà zero, e tale numero resta immutato quando esso viene diviso [!], aumentato o diminuito di zero”.
Un numero diviso per zero - secondo Mahavira - “resta immutato”. Evidentemente pensava che dividendo una torta fra zero persone, cioè con nessuno, gli sarebbe rimasta l’intera torta. L’idea dello zero, secondo Mahavira, non è l’idea di un numero, ma piuttosto l’idea del nulla.
Dividere 0 per un numero qualsiasi, diverso da zero, è facile: il risultato è zero. Ad esempio, 0 : 7 = 0, perché 7 x 0 = 0. Ma dividere un numero per zero non è possibile, non ha alcun significato.
E cosa possiamo dire di 0 diviso 0? Ora non mancherebbero le soluzioni, anzi qualsiasi numero andrebbe bene come risultato. Infatti 0 : 0 = 5 perché “cinque per zero fa zero” oppure 0 : 0 = 120 perché “centoventi per zero fa ancora zero” e così via con qualsiasi altro numero. La divisione per zero è quindi proibita e per questo motivo sulle calcolatrici, quando tentiamo questa operazione, compare il messaggio di errore.

Anche nelle potenze siamo in difficoltà con lo zero: sappiamo che 7^3 significa 7 x 7 x 7, ma qual è il significato di 7^0? Si potrebbe leggere come il prodotto di zero 7, ma questo non significa molto. E’ più semplice cercare di mantenere le proprietà delle potenze anche con 7^0. Ed è proprio quello che fanno i matematici. Se 7^3 x 7^4 è uguale a (7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7 x 7) e quindi a 7^7, vale la regola 7^3 x 7^4 = 7^(3+4). Perché la regola di addizione fra gli esponenti nelle moltiplicazioni di potenze aventi la stessa base sia sempre valida, dovrà anche essere: 7^0 x 7^3 = 7^(0+3) = 7^3 e quindi si pone per convenzione 7^0 = 1. Tutti i numeri elevati a 0 sono uguali a 1, tranne zero, perché 0^0 resta privo di senso.

Le insidie dello zero emergono ancora dal calcolo seguente:

Siamo arrivati a un assurdo perché abbiamo diviso per (a – a)… cioè per zero.

Vediamo qualche altra situazione “imbarazzante”:

Sia x = - 0,5

Quindi 2x = -1,

cioè 2x + 1 = 0

Se aggiungiamo x^2 ad entrambi i membri dell’uguaglianza abbiamo:

x^2 + 2x + 1 = x^2

che possiamo scrivere (x + 1)^2 = x^2

Prendiamo ora la radice quadrata dei due membri:

x + 1 = x da cui ricaviamo:

1 = 0

In realtà quando prendiamo la radice quadrata, otteniamo due equazioni,

x + 1 = ±x

e da una di queste ricaviamo x = -0,5, mentre l’altra non ha soluzione.

L’errore è stato la trasformazione di un’equazione di primo grado in uno di secondo grado.

Rene Magritte, La grande guerre 2, 1964

Un errore analogo porta all’uguaglianza assurda 5 = 1:

Ovviamente -5 = -5

E ugualmente 25 – 30 = 1 – 6

Aggiungiamo 9 ai due membri:

25 – 30 + 9 = 1 -6 + 9

Se ci ricordiamo del quadrato di un binomio, abbiamo:

(5 – 3)^2 = (1 – 3)^2

Estraiamo la radice quadrata:

5 – 3 = 1 – 3

cioè 5 = 1

Un’altra apparente bizzarria dello zero emerge dallo studio di una semplice serie, composta da infiniti termini:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

Non è difficile far vedere che vale zero, infatti

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) …

equivale a una somma di zero: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

Se raggruppiamo invece i termini nel modo seguente:

1 + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)

La stessa serie vale 1: 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

E’ ben curioso questo comportamento. La stessa somma di infiniti zeri può valere tanto zero quanto uno.
Ma non basta. Se sostituiamo gli uno con cinque, la stessa somma vale 5

5 + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5)

che equivale a

5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

Zero, uno o cinque: qual è la risposta giusta? Non esiste.