Variazioni di area in poligoni isoperimetrici

di Giuseppe Iaquinto
Liceo Scientifico Volta, Torino

Luigi Veronesi, Diagonale 5, 1939

Poligoni isoperimetrici con lo stesso numero di lati

In figura 1 è disegnato un esagono regolare ABCDEF . Uniamo con una diagonale due vertici, come A ed E, che “lasciano fuori” un vertice, nel nostro caso F.

Figura 1

Costruiamo come in figura 2 l’ellisse di fuochi A ed E che ha come asse maggiore il segmento somma dei lati AF e EF. Preso un punto H sull’ellisse, consideriamo il triangolo HAE: ha lo stesso perimetro del triangolo AEF ma area diversa. Il triangolo isoscele AEF ha area maggiore perché la sua altezza AI relativa alla base AE è maggiore dell’altezza HL del triangolo HAE.

Figura 2

Risulta allora che l’area dell’esagono regolare, somma dell’area di un pentagono e del triangolo isoscele è maggiore dell’area dell’esagono irregolare, somma dello stesso pentagono e di un triangolo non isoscele.
Un ragionamento analogo, può farsi in relazione ad un qualsiasi poligono regolare con un numero qualsiasi di lati. Si ha pertanto che in generale un poligono regolare ha area maggiore di qualunque poligono isoperimetrico con lo stesso numero di lati.

Poligoni regolari isoperimetrici

Consideriamo ora dei poligoni regolari che abbiano un diverso numero di lati .
Dato il quadrato ABCD della figura 3, costruiamo un pentagono irregolare che abbia lo stesso perimetro. Indicato con M il punto medio del lato CD disegniamo, come in figura 4, l’ellisse di fuochi A e M che abbia come asse maggiore la somma dei segmenti AD e DM .
Tracciamo l’asse del segmento AM e indichiamo con E la sua intersezione esterna con l’ellisse. Il triangolo EAM ha lo stesso perimetro del triangolo ADM., ma area maggiore. Pertanto il pentagono di vertici EABFM, ove F è il simmetrico rispetto all’asse mediano del quadrato passante per M, risulta avere lo stesso perimetro, ma area maggiore del quadrato ABCD (fig 5)

Siccome un pentagono irregolare ha un’area minore di un pentagono regolare con lo stesso perimetro, si deduce che il quadrato ha area minore del pentagono regolare isoperimetrico (fig 6).

Un ragionamento di questo tipo si può ripetere nel passaggio dal pentagono all’esagono e, in generale, da un poligono regolare di n lati ad un poligono regolare di n + 1 lati, sempre isoperimetrico.
Si conclude che all’aumentare del numero di lati, sempre restando fisso il perimetro, aumenta l’area del poligono regolare.

Il cerchio come poligono regolare con infiniti lati

Se consideriamo il cerchio come un poligono regolare con infiniti lati, arriviamo alla conclusione che l’area del cerchio è maggiore dell’area di un qualunque poligono regolare con lo stesso perimetro; e quindi a maggior ragione dell’area di un qualunque poligono anche irregolare ma con lo stesso perimetro.
Poiché il contorno di una figura curvilinea si può approssimare con un poligono qualunque (fig 7 ), si arriva così alla seguente proprietà: il cerchio ha area maggiore fra tutte le figure di uguale perimetro.

Figura 7

Variazioni di perimetro in poligoni equivalenti

Vogliamo valutare adesso come varia il perimetro di poligoni equivalenti . Questo ci permetterà di dimostrare alcune proprietà dei poligoni e di cogliere che il cerchio a parità di area ha il perimetro minore di un qualsiasi poligono.
Iniziamo il nostro studio a partire dal triangolo isoscele e dal trapezio isoscele, dimostrando che:

1. il triangolo isoscele ha perimetro minore di ogni altro triangolo di uguale base e altezza.
In figura 8 è disegnato il triangolo isoscele ABC con i lati AB e AC congruenti e il triangolo scaleno BCD che ha la stessa base BC e la stessa altezza essendo i vertici A e D allineati su una retta r parallela alla base.

Figura 8

Se operiamo una simmetria centrale rispetto al punto A, il punto C avrà come simmetrico il punto C’, per cui il segmento CC’ risulta il doppio del segmento AC. Il punto C’ risulta inoltre il simmetrico del punto B rispetto alla retta r, per cui si ha C’D = BD. (fig 9)
In riferimento al triangolo CDC’ , essendo un lato minore della somma degli altri due si ottiene CC’ < C’D+ CD e quindi AB + AC < BD + CD . Il triangolo ABC ha pertanto perimetro minore del triangolo BCD.

Figura 9

Segue da questa proprietà che

2. il trapezio isoscele ha perimetro minore di ogni altro trapezio di uguali basi e uguale altezza
In figura 10 sono disegnati il trapezio isoscele ABCD ove AB = CD e il trapezio scaleno LMNP tale che LP = AD , MN = BC e AH = LK.

Figura 10

E’ immediato dimostrare che LM + NP > AB + CD . Conduciamo per A la parallela AE al lato DC e per L la parallela LR al lato NP. (fig 11)

Figura 11

Per la proprietà relativa al triangolo isoscele risulta AB + AE < LM + LR
Si ha quindi che LM + NP > AB + CD.

In base a queste due proprietà del triangolo e del trapezio è possibile dimostrare che:

• si può trasformare un poligono in uno equivalente con un nuovo asse di simmetria e di perimetro minore.

Consideriamo il pentagono ABCDE della figura 12, privo di assi di simmetria .

Figura 12

Per trasformarlo in uno equivalente avente un asse di simmetria, fissiamo una retta r a piacere e conduciamo per ogni vertice una retta perpendicolare ad r.

Figura 13

Il pentagono risulta diviso in due triangoli e due trapezi. Se, come in figura 13 , trasliamo le corde EF , HB e DG in modo che i punti medi si vengano a trovare sulla retta r avremo i segmenti E’F’, H’B’ e D’G’ . Se congiungiamo gli estremi di questi segmenti otterremo l’ottagono A’E’H’D’C’G’B’F’.
Questo ottagono e il pentagono sono equivalenti perché composti di triangoli e di trapezi equivalenti . Ma il perimetro dell’ottagono è minore di quello del pentagono perché i suoi lati sono lati di triangoli e trapezi isosceli, mentre nel caso del pentagono i triangoli e i trapezi non sono isosceli. Pertanto, a parità di area, il nuovo poligono ha il perimetro minore.

Il processo di simmetrizzazione può ripetersi; la figura 14 mostra la trasformazione dell’ottagono in un poligono equivalente che ha un nuovo asse di simmetria t. Anche in questo caso avendo sostituito triangoli e trapezi non isosceli con triangoli e trapezi isosceli il nuovo poligono ha perimetro minore.

Figura 14

La figura 15 mostra una successiva trasformazione del poligono in uno equivalente con un nuovo asse di simmetria s, diverso da r e da t.

Figura 15

Procedendo con la simmetrizzazione, aumentano i lati del poligono. Il suo contorno si presenta “sempre più arrotondato” in quanto i trapezi di cui si compone diventano sempre più sottili . Il poligono tende a diventare un cerchio, la figura curvilinea che, a parità di area, avendo il massimo numero di assi di simmetria ha perimetro minimo.