6. Le mille dimostrazioni del teorema di Pitagora

Le dimostrazioni del celebre teorema non sono infinite, ma nel corso dei secoli ne sono state proposte diverse centinaia, con molte varianti, e il loro numero continua a crescere grazie a quelle che ancora oggi vengono scoperte da matematici professionisti o dilettanti, sempre affascinati da questo teorema. Se andiamo a curiosare fra le tante dimostrazioni, ne troviamo alcune veramente curiose.

Sicuramente Schopenahuer più della dimostrazione di Euclide, avrebbe apprezzato quella proposta nel 1873 da Henry Perigal (Fig. 27), un agente di cambio inglese con la passione per la matematica. Egli divide il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti, con due segmenti passanti per il centro del quadrato stesso, uno dei quali parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa BC, e ricompone poi i quattro pezzi, insieme al quadrato costruito sull’altro cateto, nel quadrato dell’ipotenusa. Si tratta naturalmente di dimostrare l'equivalenza delle parti in cui sono stati divisi i quadrati dei cateti con quelle ricomposte sul quadrato dell'ipotenusa .

Fig. 27  La dimostrazione dell'agente di cambio Perigal.

Sempre con la scomposizione in parti equivalenti, sono riportate nelle figure delle due pagine seguenti alcune altre costruzioni e dimostrazioni del teorema di Pitagora. Sono state evidenziate soltanto le scomposizioni in parti equivalenti, lasciando al lettore il compito delle dimostrazioni.

Fig. 28  Dimostrazione di Tempelhoff, 1769, riportata da I. Ghersi in Matematica dilettevole e curiosa. Dato il triangolo rettangolo ABC, si costruiscano i quadrati sui suoi tre lati e il triangolo DLE come indicato in figura. Si traccino poi i segmenti HG, IF e CL. Si può dimostrare che i quadrilateri FGHI, ABFI, ADLC e BCLE sono equivalenti. L'esagono ABFGHI è quindi equivalente all'esagono ADLEBC. Ma se togliamo ai due esagoni il triangolo in comune ABC e i triangoli equivalenti CGH e DLE, quanto rimane è ancora equivalente: AB²=AC²+BC².

Fig. 29  Molto semplice e bella è anche la costruzione di Nassir - ed - Din che si trova nell'Edizione araba degli Elementi, Roma, 1594. In figura abbiamo ACMN equivalente sia ad AC² che a ADPO. E' quindi ADPO è equivalente ad AC². In modo analogo si vede che BOPE è equivalente a BC². Ricaviamo perciò: AB²= AC²+ BC² Resta da dimostrare, prima di tutto, che il segmento MP passa per i punti C ed O.

Fig. 30  Una costruzione del 1778 di Ozanam, riportata da I. Ghersi in Matematica dilettevole e curiosa. Molto semplice ed elegante, da provare con "carta e forbici". Resta poi sempre la dimostrazione dell'equivalenza delle varie parti.

Fig. 31  Una scomposizione simile alla precedente. I due quadrati sui cateti sono stati divisi prima con una diagonale e successivamente con due segmenti paralleli all'ipotenusa, uscenti dai vertici dell'altra diagonale. Le otto parti si ricompongono nel quadrato sull'ipotenusa.

Fig. 32  Un'altra costruzione che mette in evidenza il teorema di Pitagora. A sinistra, un quadrato avente per lato la differenza dei due cateti di un triangolo rettangolo e quattro triangoli rettangoli equivalenti, di cateti a e b e di ipotenusa c, si compongono nei quadrati dei due cateti. A destra le stesse parti si compongono nel quadrato dell'ipotenusa.

Nel Giardino di Archimede, Un museo per la matematica, alle pagine web dedicate a Pitagora, si trova una dimostrazione, simile alla precedente, ma in poesia, trovata pare, nel secolo scorso, da un astronomo dell'osservatorio di Greenwich, G. B. Airy.

Fig. 33  La dimostrazione "poetica" di G. B. Airy.

Se il lettore osserva la fig. 33, saprà ricavarne immediatamente la dimostrazione: i due triangoli gialli con la parte bianca formano il quadrato dell'ipotenusa, mentre la stessa parte bianca con i due triangoli verdi, equivalenti ai precedenti, formano i quadrati dei cateti, com'è facilmente verificabile. Airy presenta poeticamente la figura in questo modo:

I am, as you can see,
a² + b² - ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'd
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read.

Tentiamone una traduzione:

Come potete veder, son qui:
a² + b² - ab
Se due triangoli sono sopra di me
Il quadrato dell'ipotenusa c'è
E se questi di sotto invece stanno
I quadrati dei cateti si hanno.

Vediamo ancora la dimostrazione trovata nel 1876 da James A. Garfield, ventesimo presidente degli Stati Uniti. Antischiavista, eroe della guerra civile, Garfield venne eletto presidente nel 1880 e avviò subito una campagna contro la corruzione politica, procurandosi per questo molti nemici. Pochi mesi dopo la sua elezione, venne ferito con alcuni colpi di pistola.

Fig. 34  James Abram Garfield, 1831 - 1881.

A. G. Bell, l'inventore del telefono, tentò di individuare la posizione della pallottola rimasta nel corpo di Garfield con un metal detector di sua invenzione. Ma non si accorse che il letto sul quale giaceva il presidente aveva una rete metallica che disturbava l'uso del suo apparecchio. Il suo intervento fu quindi inutile e il Presidente morì dopo alcuni giorni, anche per colpa dei medici che lo avevano visitato. I grandi medici chiamati a consulto erano riusciti soltanto ad aggravare le sue condizioni per le scarse condizioni igeniche in cui avevano operato.

Garfield trovò una dimostrazione inedita del teorema insieme ad alcuni suoi colleghi del Congresso, in un "momento di passatempo matematico". "Pensiamo che su questa dimostrazione - disse - si possano trovare d'accordo tutti i deputati, indipendentemente dalle loro idee politiche".

La dimostrazione di Garfield, molto bella, si fonda sul calcolo dell’area del trapezio. In questo caso non dobbiamo costruire alcun quadrato.

Fig. 35  La dimostrazione di James A. Garfield, trovata nel 1876.

Sull’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC viene costruito il triangolo rettangolo isoscele CBE. Si prolunga la retta AC fino ad incontrare in D la perpendicolare tracciata da E.

Il triangolo ABC è uguale al triangolo DCE, perciò: AB = DC e AC = DE.

Sia l'altezza che la somma delle basi sono x + y e quindi l’area del trapezio ABDE è:

Ma l’area dello stesso trapezio è anche uguale alla somma delle aree dei tre triangoli ABC, BCE e CDE:

Abbiamo quindi:

Se si semplifica, si ottiene la relazione del teorema di Pitagora:

x² + y² = z²