Definizione di numeri reali

di Luigi Corgnier

René Magritte, Gonconda, 1953

1. Introduzione

Questo è un nuovo contributo alla definizione dei numeri reali comparsa su questo stesso sito (si veda Rif. 1).
Chi ha letto Rif. 1 non dovrebbe dubitare della necessità dell’introduzione dei numeri reali, per rispettare la nostra intuizione geometrica dell’idea di “retta”, e per rimuovere troppe eccezioni nell’esecuzione di operazioni aritmetiche, in particolare l’estrazione di radice.
Ciò premesso, in questo contributo si cerca di delineare come avviene effettivamente la costruzione,
quindi il contenuto è più tecnico, e in qualche modo più difficile. In effetti la costruzione dei numeri reali è un capitolo “difficile” della matematica, che coinvolge idee nuove ed ha anche suscitato opposizione da parte di matematici legati alla operatività delle definizioni della matematica.

2. Punto di partenza

Riprendiamo ora la definizione data in Rif. 1 di numero reale.

Nell’insieme Q dei numeri razionali relativi si definisce sezione ogni suddivisione dell’insieme Q in due classi non vuote A e B che godono delle seguenti proprietà:

1. Ogni elemento di Q appartiene ad una e una sola delle due classi
2. Ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B

Come prima conseguenza di tale definizione, osserviamo che la classe superiore B non può contenere alcun elemento massimo. Infatti se b fosse il massimo di B, un qualsiasi numero b’ maggiore di b dovrebbe stare nella classe A, contro la condizione che tutti gli elementi di A siano minori di ogni elemento di B.
In modo analogo si dimostra che la classe inferiore A non può avere alcun minimo.
Invece, riguardo al massimo di A e al minimo di B, possono capitare i seguenti 3 casi, esemplificati in Rif. 1:

1. La classe inferiore A contiene un elemento massimo a
2. La classe superiore B contiene un elemento minimo b
3. Non avviene né 1 né 2, cioè la classe inferiore non ha massimo e la classe superiore non ha minimo

Osserviamo che i casi 1 e 2 non possono capitare contemporaneamente: infatti se esistessero sia a che b, dovrebbe a<b, perché un numero della prima classe è sempre minore di un numero della seconda classe. Ma allora un numero compreso fra a e b (ad esempio (a + b ) / 2) non potrebbe stare in nessuna delle due classi.
Quanto al caso 3, esso ovviamente non può capitare contemporaneamente né al caso 1, né al caso 2. Quindi i tre casi sono mutuamente esclusivi.

René Magritte, La voce del vento, 1928

Nel caso 1 la classe inferiore A è formata da tutti i numeri razionali minori o uguali di un certo razionale r, e la classe superiore B da tutti gli altri, cioè i maggiori di r. Viceversa, Nel caso 2 la classe superiore B è formata da tutti i numeri razionali maggiori o uguali a un certo razionale r, e la classe inferiore B da tutti gli altri, cioè i minori di r. Si può passare dall’uno all’altro caso semplicemente spostando r da una classe all’altra.
Ciò premesso, si conviene che una sezione (A; B) di tipo 1 o di tipo 2 sia solo una diversa e più complicata scrittura del numero razionale r, cioè la si identifica con il massimo della prima classe o con il minimo della seconda (uno dei due esiste certamente, nei due casi considerati). Volendo, questa doppia scrittura dei numeri razionali potrebbe essere evitata, convenendo di escludere, ad esempio, le sezioni di tipo 2.
Invece una sezione di tipo 3 non rappresenta nessun ente numerico già noto. Essa deve essere considerata così come è, cioè una sezione particolare di numeri razionali, ma riceve anche un nome particolare: “numero irrazionale”. Nel loro insieme, i numeri razionali e quelli irrazionali costituiscono i “numeri reali”. Quindi si può concludere che un numero reale è una sezione arbitraria dell’insieme dei razionali, con la convenzione di escludere (ad esempio) le sezioni di tipo 2, cosa che si può fare molto semplicemente stabilendo di spostare sempre nella classe inferiore l’eventuale minimo della classe superiore.

3. La rappresentazione decimale dei numeri reali

Probabilmente questa definizione di numero reale come sezione può creare confusione in chi conosce già il concetto di numero reale come “allineamento infinito di cifre, separate da una virgola, e senza alcun requisito di finitezza né di periodicità”. In realtà questa è solo una differente rappresentazione del numero reale, ma equivalente a quella che abbiamo dato. Per convincercene, basta verificare come si passa dall’una all’altra delle due rappresentazioni:

1. Dalle cifre alla sezione: basta formare la classe inferiore come insieme di tutti i razionali minori o uguali ad almeno una delle infinite rappresentazioni decimali troncate, e la classe superiore come l’insieme complementare (il lettore verifichi che le condizioni di sezione sono soddisfatte)
2. Dalla sezione alle cifre: si usa un “algoritmo” iterativo:
- Si trova il più grande intero appartenente alla classe inferiore; sia n
- Fra i 10 numeri {n,0 , n,1 , n,2 , n,3 , n,4 , n,5 , n,6 , n,7 , n,8 , n,9 }, si trova il più grande appartenente alla classe inferiore;
- Si continua così generando la seconda cifra dopo la virgola, ecc.

A questo punto ci si potrebbe però chiedere quali sono pregi e difetti dei due metodi, e in particolare per quale motivo si dovrebbe preferire la rappresentazione con le sezioni alla ben più familiare rappresentazione decimale.
Premesso che la rappresentazione decimale resta la più conveniente per i calcoli pratici (si veda ad esempio, in questo stesso sito, Rif. 2 e Rif. 3), i suoi difetti concettuali emergono quando si cerca di definire le operazioni aritmetiche fra i nuovi enti, i numeri reali. A questo scopo cominciamo ad occuparci della definizione di “somma di due numeri reali”.

René Magritte, Meditazione, 1936

4. Tentiamo di definire la somma

Se si adotta la definizione di numero reale come rappresentazione decimale, la definizione del concetto di somma offre delle difficoltà insospettate. Infatti il tipico metodo di sommare due numeri decimali partendo dall’ultima cifra e usando il meccanismo del riporto non è applicabile, perché ha il difetto di cominciare proprio dall’ultima cifra, che in generale non esiste. Se si usano rappresentazioni troncate, come suggerirebbe una persona interessata solo a calcoli pratici, non c’è modo di escludere che un riporto trascurato si estenda iterativamente verso sinistra, facendo sbagliare anche le cifre più significative. Per convincersene, basta considerare i due numeri (che, fra l’altro, avendo un numero finito di cifre diverse da 0, sono razionali)

a = 0,33333…….33
b = 0,66666…….66

la cui somma è evidentemente c = 0,99999…….9. Se ora si sostituisce b con b’ = 0,66666…….67 la somma diventa 1, quindi cambiano tutte le cifre rispetto a c. Questo esempio basta per provare che una variazione di una cifra anche lontanissima può, attraverso il meccanismo del riporto, ripercuotersi su tutte le cifre del risultato. Con una analisi appena più approfondita si può dimostrare (posso fornire a chi sia interessato la dimostrazione) la proprietà che afferma “non esiste alcun algoritmo sicuramente terminante per generare le cifre della somma di due numeri reali”.
Questa impossibilità è molto profonda e può generare discussioni sul senso stesso della “matematica non costruttiva”, quella cioè che accetta metodi basati sull’affermazione di esistenza di enti per cui non si può dare una costruzione effettiva. Nei primi anni del 1900, si è sviluppata una scuola di matematici che rifiutavano metodi non costruttivi, sostenendo addirittura che metodi non costruttivi potrebbero portare a paradossi tipo quelli della Teoria intuitiva degli Insiemi. C’è da dire che limitandosi alla matematica costruttiva si distruggerebbe gran parte di quanto è oggi acquisito. In ogni caso i ragionamenti svolti dovrebbero indurre il lettore a meditare sul concetto stesso di “problema non risolto”: non è necessario citare equazioni differenziali di cui non si conosce la soluzione, non si sa neppure calcolare la somma di due numeri, se si va a scavare a fondo!
Al momento, comunque, non siamo neppure riusciti a definire la somma fra reali, a causa delle difficoltà incontrate. Proprio per questo motivo è opportuno la definizione alternativa con le sezioni, più astratta ma equivalente, che come vedremo permette di superare l’ostacolo attuale, almeno da un punto di vista di principio.

5. Definiamo la somma e altre operazioni

Se adottiamo la definizione di numero reale come sezione, possiamo definire la somma di due numeri reali. Siano infatti a =(A; B) e a’ =(A’; B’) due arbitrari numeri reali. La loro a + a’ è per definizione la sezione formata mettendo nella classe inferiore tutte le possibili somme dei razionali che sono nella classe inferiore A di a con quelli che sono nella classe inferiore A’ di a’, e nella classe superiore tutti gli altri.
In modo analogo si definiscono le altre operazioni aritmetiche, l’elevazione a potenza, l’estrazione di radice, il logaritmo, e se ne dimostrano le note proprietà algebriche. Per i dettagli, rimandiamo ad un trattato di Analisi Matematica.
Notiamo ancora che le difficoltà relative alla non costruttività sono state aggirate ma non superate. Adesso compaiono nella seguente forma. Supponiamo di conoscere costruttivamente un reale a, cioè di avere un algoritmo capace di decidere, per ogni razionale, se esso appartiene o no alla classe inferiore di a; lo stesso per un secondo reale a’. Non esiste comunque alcun algoritmo sicuramente terminante e capace di fare la stessa cosa per a + a’. Quindi la somma è definita, ma non calcolabile in generale. Lo stesso si può dire per tutte le altre operazioni.

6. Definiamo il confronto

La definizione di numero reale tramite le sezioni rende facile definire il confronto fra reali: si stabilisce per definizione che a < a’ significa semplicemente che la classe inferiore di a è sottoinsieme della classe inferiore di a’.
La dimostrazione delle normali proprietà del confronto è facile, e lasciata al lettore.

7. Massimi e estremi superiori

Per cercare di capire quale sia il valore aggiunto della costruzione dei numeri reali, dobbiamo introdurre i seguenti concetti:

• Insieme numerico limitato superiormente
• Massimo di un insieme numerico limitato superiormente
• Estremo superiore di un insieme numerico limitato superiormente

Sia I un insieme qualsiasi di numeri (reali o razionali), in quantità finita o infinita. E’ alquanto naturale dire che I è “limitato superiormente” se ammette un “confine superiore”, cioè se esiste un numero s che sia maggiore o uguale di tutti i numeri contenuti in I. E’ ovvio che se esiste un confine superiore ne esistono automaticamente infiniti, tutti quelli maggiori di s.
In modo altrettanto naturale si dice che I ammette il massimo m se fra gli elementi di I ne esiste uno (m) più grande di tutti gli altri. Il massimo m è automaticamente anche un confine superiore, quindi un insieme dotato di massimo è limitato superiormente.
Il contrario non è sempre vero: prendiamo ad esempio l’insieme I di tutti i numeri reali minori di 1 (dunque 1 è escluso). Tale insieme è ovviamente limitato superiormente, ma non ammette massimo. Supponiamo infatti che m sia il suo massimo: m appartiene a I per definizione di massimo, quindi deve essere minore di 1; ma se m è minore di 1, il numero (1 + m) / 2 è minore di 1, quindi è in I, ma è maggiore di m, contro l’ipotesi che m sia il massimo.
Il caso di insieme esemplificato non ha un massimo, perché quello che sarebbe naturalmente il suo massimo, 1, è stato intenzionalmente lasciato fuori. Però si può dire che 1 è il più piccolo fra i confini superiori di I. Un numero di questo genere si dice “estremo superiore” di I.
In generale l’estremo superiore di un insieme limitato superiormente I si definisce come il più piccolo fra i confini superiori, se esiste. E’ facile dimostrare che l’estremo superiore di I appartiene a I se e solo se è anche il massimo.
Visto che non si può affermare che ogni insieme limitato superiormente abbia un massimo, ci chiediamo allora se si può invece affermare almeno che abbia un estremo superiore.
Se ci si limita al campo dei razionali, la risposta è no. Prendiamo infatti come I l’insieme di tutti i razionali il cui quadrato è minore di 2. Tale insieme ammette come estremo superiore la radice quadrata di 2, che non è un numero razionale, quindi nel campo razionale non ammette nessun estremo superiore.
Questa proprietà è proprio quella che rende il campo dei razionali inadatto per sviluppi ulteriori della matematica, e si chiama incompletezza. Vedremo invece nel capitolo successivo che nel campo reale si ha la proprietà di completezza, cioè l’esistenza dell’estremo superiore di ogni insieme limitato superiormente.

René Magritte, I due misteri, 1966

8. Il teorema di completezza

Le nozioni sviluppate sui numeri reali permettono di dimostrare immediatamente il teorema di completezza dell’insieme dei numeri reali, nella forma: ogni insieme di reali limitato superiormente ha un estremo superiore nel campo reale (in generale non appartenente all’insieme stesso, quindi non massimo). E’ infatti immediato definire la sezione corrispondente a tale estremo superiore: basta formare la classe inferiore come unione insiemistica di tutte le classi inferiori di tutti i reali in gioco, e la classe superiore come insieme complementare.

Tutto quello che si è detto in questo capitolo e nel precedente su insiemi limitati superiormente, estremi superiori e massimi può essere ripetuto con ovvie modifiche riferendosi a insiemi limitati inferiormente, estremi inferiori e minimi. Si giunge così al risultato complementare: ogni insieme di reali limitato inferiormente ha un estremo inferiore nel campo reale.

Consideriamo ora due insiemi di reali I e J separati: ciò significa che ogni elemento di I è più piccolo di ogni elemento di J (incidentalmente, le due classi della sezione che definisce un reale sono proprio di questa forma). In queste condizioni I è limitato superiormente e J è limitato inferiormente. Allora I ammette un estremo superiore a e J ammette un estremo superiore b. E’ ovvio che si ha a≤b. Allora qualunque numero fra a e b (compresi anche a e b , uguali o diversi che siano) gode della proprietà di separare i due insiemi I e J, cioè di essere ≥ di qualsiasi elemento del primo, e ≤ di qualsiasi elemento del secondo.

Abbiamo così ottenuto una versione diversa, (e la più comunemente usata) del teorema di completezza: nel campo reale due insiemi separati ammettono sempre (almeno) un elemento separatore. Talvolta si parla di “teorema delle celle incapsulate”, ed è il fatto numerico essenziale per stabilire che i numeri reali sono idonei per rappresentare tutti i punti della retta secondo l’intuizione comune. Si veda a questo proposito la somiglianza con l’assioma di continuità della retta riportato in Rif. 1 .

Osserviamo infine che, con le nozioni sviluppate, un numero reale è elemento di separazione fra le due classi di razionali che lo definiscono. In questo caso particolare si verifica immediatamente che è anche l’unico elemento di separazione.

9. La costruttività

Abbiamo visto che, lavorando con i numeri reali, siamo costretti a ingoiare l’amaro boccone della possibile non costruttività. In altri termini si deve accettare che un certo reale sia dimostrato esistente, ma non si abbia alcun modo per generarlo, cioè per costruire le classi che formano la sezione, o alternativamente le cifre. Questo già capita, in generale, per la somma di due numeri.
Facciamo invece almeno un esempio di reale costruttivo: la lunghezza di diagonale di un quadrato di lato 1, la cui irrazionalità è proprio una delle cause scatenanti la costruzione dei numeri reali.
E’ chiaro che la regola di costruzione di tale lunghezza è la seguente: un razionale qualsiasi appartiene alla classe inferiore se il suo quadrato è minore di 2, altrimenti alla classe superiore. In modo analogo si vede che ogni radice di qualsiasi ordine di un razionale (positivo, per evitare problemi con le radici pari dei negativi) è un reale costruttivo; più in generale sono costruttive tutte le soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti razionali. Per dettagli su certi algoritmi effettivi di costruzione si veda Rif. 2 e Rif. 3.
Ma i reali costruttivi sono pochissimi: infatti essi sono al più quanti gli algoritmi di costruzione, ed è facile verificare che gli algoritmi di costruzione, cioè i programmi, sono tanti quanti i numeri naturali.
Infatti un programma è null’altro che una sequenza (stringa) di simboli, e quindi si può pensare di ordinare i programmi per lunghezza totale crescente, e a parità di lunghezza in ordine alfabetico. Quello che si ottiene è un elenco di programmi P₀, P₁, P₂, P₃, …. cioè una corrispondenza biunivoca fra programmi e numeri naturali.
Invece l’insieme dei reali ha una numerosità superiore. Infatti è facile dimostrare che è impossibile formare un simile elenco anche solo di tutti i numeri reali compresi fra 0 e 1. Infatti, pensando alla rappresentazione decimale, un tale elenco avrebbe la forma

0, a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅ a₁₆ …….
0, a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅ a₂₆ …….
0, a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a₃₅ a₃₆ …….
0, a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ a₄₅ a₄₆ …….
……………………………

dove con a_ij si è indicata in generale la j-esima cifra dell’i-esimo numero dell’elenco ipotizzato. A questo punto si applica il metodo della diagonale di Cantor, cioè si costruisce il numero reale

0, b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆ …

con b₁ diverso da a₁₁,b₂ diverso da a₂₂, b3 diverso da a₃₃, …

E’ evidente che tale numero differisce dal primo numero dell’elenco nella prima cifra, dal secondo nella seconda cifra, dal terzo nella terza cifra, …., quindi non può essere nell’elenco stesso.
L’insieme dei numeri reali ha dunque una numerosità (tecnicamente si dice potenza) superiore a quello dei reali costruibili, e quindi dei naturali, degli interi, dei razionali, che essendo costruibili hanno tutti la potenza dell’insieme dei naturali.
Ci si può chiedere se sia possibile costruire un insieme di potenza superiore a quella dell’insieme dei naturali ma inferiore a quella dell’insieme dei reali. La risposta a questo problema è piuttosto sconcertante: non ci può essere risposta! E’ stato dimostrato che la matematica come oggi conosciuta, cioè in sostanza derivata dagli assiomi della Teoria degli Insiemi, non può né dimostrare né escludere l’esistenza di un tale insieme: è un problema indecidibile.

10. Riferimenti

1. http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI
/TESTI/Gen_05/CapraNumeriReali.htm
2. http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Interventi
/Articoli/Italia/CalcoloRadici/CalcoloRadici.htm
3. http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Interventi
/Articoli/Italia/RealiCorgnier/SommaNumeriRealiCorgnier.htm