”Ogni quadrangolo avente
due lati paralleli si dice trapezio”. (Enriques-Amaldi, Elementi di
geometria, Bologna 1993). La corda, parallela alle basi, passante per l’intersezione delle diagonali è Media Armonica delle basi del trapezio. Si consideri ancora la corda XW
passante per il punto d’incontro O delle diagonali, parallela
alle basi.
da cui
Sommando membro a membro si ha:
e infine
Ragionando in maniera analoga sui triangoli BOW, BDC e CWO, CBA si conclude che
Quindi OX = OW e si conclude che
cioé XW è media armonica tra le basi del trapezio.
La corda, parallela alle basi, che divide il trapezio in due trapezi simili, è Media Geometrica delle basi del trapezio. Consideriamo la corda, parallela alle basi del trapezio, che divide il trapezio in due trapezi simili.
Essendo allora DCVU simile a UVBA sarà anche DC : UV = UV : AB quindi UV2 = DC * AB, e infine
UV è quindi la media geometrica tra le basi del trapezio. La corda, parallela alle basi, passante per i punti medi dei lati obliqui, è Media Aritmetica delle basi del trapezio. Siano ora M ed N i punti medi dei lati obliqui del trapezio ABCD. Condotta da N la parallela a AD, si dimostra facilmente che i triangoli CFN e NBE sono uguali. Allora MN = DC + CF ma anche MN = AB - EB. Sommando membro a membro, e ricordando che CF = EB, si ha 2MN = DC + AB, e infine,
MN è quindi la media aritmetica tra le basi del trapezio. La corda, parallela alle basi, che divide il trapezio un due trapezi equivalenti, è Media Quadratica delle basi del trapezio. RS è una corda parallela alle basi del trapezio, tale che i trapezi DCSR e RSBA abbiano la stessa area. Allora si avrà
Le precedenti uguaglianze possono dividersi come segue
da cui
e sommando membro a membro
Ricordando che DH + HK = DK si ottiene
e, ...dopo qualche faticoso calcolo,
Quindi RS è la media quadratica tra le basi del trapezio.
Riassumendo: Dato un qualsiasi trapezio si consideri l’insieme delle corde parallele alle basi.
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