Cinderella
Dalla dimostrazione automatica alla geometria dinamica.

Rossetto Silvano
Articolo pubblicato su “Progetto Alice”, n. 7, Vol. 3, anno 2002-I

Premessa

La visualizzazione sul monitor di un computer è un ulteriore strumento (ultimo forse solo in senso cronologico) che si affianca a tutti gli altri sviluppati nel tempo per rendere percettibili, intuibili, sperimentabili, in qualche modo ‘reali’, concetti ‘astratti’ della matematica. L’ambito più naturale della visualizzazione è quello delle figure geometriche: si è visto negli ultimi anni, dato anche lo sviluppo delle tecnologie che rendono ora disponibili strumenti con adeguate velocità di calcolo, risoluzioni del monitor e numero di colori, un vasto fiorire di programmi che vanno sotto la categoria indicata con il termine geometria dinamica.
Il programma più noto è Cabrì, sviluppato dall’IMAG – Università J. Fourier di Grenoble; va poi ricordato SketchPad, della Key Curriculum Press.
Molti altri si possono trovare in internet seguendo i link forniti da un motore di ricerca a partire proprio dai termini: geometria dinamica.
Perché occuparci di un nuovo programma di questa categoria già così fornita? Credo che la professione dell’insegnante richieda anche un po’ di curiosità: ogni nuovo strumento può sempre offrire nuove opportunità didattiche. In effetti, come spero di mostrare con queste note, Cinderella si caratterizza per alcuni elementi che ne fanno un oggetto certamente interessante. In sintesi, i principali sono i seguenti:
- è un programma di geometria dinamica scritto in linguaggio JAVA e quindi disponibile su sistemi diversi (WINDOWS, LINUX, MAC);
- è direttamente ‘interfacciato’ con il WEB: le figure costruite possono essere salvate come pagina HTML ed utilizzate in INTERNET o nella rete locale del laboratorio;
- riconosce i luoghi geometrici che corrispondono a coniche e li traccia globalmente;
- riconosce gli oggetti (punti, rette e coniche) che coincidono geometricamente: questo gli consente di identificarli in modo univoco e di gestire esercizi geometrici nei quali gli studenti possono giungere alla soluzione con percorsi costruttivi strutturalmente diversi;
- fornisce viste diverse della stessa figura: in particolare la vista ‘testo della costruzione’ mostra dinamicamente le coordinate dei punti e le equazioni delle rette e delle coniche; ci sono poi una vista sferica (la figura disegnata sopra una sfera) e una vista iperbolica;
- fornisce direttamente ambienti diversi per le geometrie non euclidee.

Cinderella è sviluppato nell’ambito di un progetto su metodi simbolici per la dimostrazione automatica di teoremi di geometria. Il programma utilizza gli strumenti concettuali della geometria proiettiva particolarmente per la parte della geometria dell'incidenza, e le geometrie di Cayley-Klein per la parte metrica. Tutto viene calcolato nel campo dei numeri complessi e questo risolve molti dei problemi di stabilità e di congruenza tipici dei programmi di geometria dinamica che si manifestano quando le figure saltano, in situazioni particolari, anche con piccoli spostamenti degli oggetti di base. Questi elementi vengono, seppur brevemente, indicati nella guida in linea e nel manuale del programma.


Cinderella: un programma di geometria dinamica

Una volta installato (la procedura è la stessa in tutti i sistemi e produce lo stesso ambiente), Cinderella presenta la classica finestra di un programma di geometria dinamica con la riga del menù e le icone degli strumenti:

Con questi, si possono costruire figure con elementi di base (punti e rette) correlati in modo che le relazioni vengano conservate quando questi sono spostati.
Ecco un esempio: il teorema di Catalan.

In un triangolo si proiettino i piedi delle altezze sui lati: si ottengono così sei punti che sono vertici di un esagono che ha i lati opposti paralleli ed è inscrittibile in una circonferenza.


Si possono ora spostare i vertici del triangolo ed osservare che la tesi del teorema è verificata:

Questa figura, e quelle seguenti, sono disponibili in forma dinamica (cioè se ne possono modificare i punti di base ed osservare le relazioni che si conservano) nel sito del Centro di Ricerche Didattiche ‘U. Morin’ di Paterno del Grappa all’indirizzo internet www.filippin.it/morin/problemi.


Cinderella: luoghi geometrici e coniche

Anche Cinderella ha, come gli altri programmi di geometria dinamica, strumenti per la costruzione di luoghi geometrici. Un luogo può essere definito sia come ‘la traccia’ di un punto, sia come inviluppo di rette. Nel seguente esempio, l’asteroide è definito come inviluppo delle rette che staccano segmenti di uguale lunghezza nell’intersezione con gli assi.

E’ dato il segmento MN di lunghezza k. Sono date le rette perpendicolari a e b che si intersecano in A.
Si traccia la circonferenza di centro B, preso sulla retta a, e raggio k. Il punto C è una intersezione della circonferenza con la retta b: il segmento BC ha lunghezza k.
L’asteroide è l’inviluppo delle rette BC al variare di B su a. Per Cinderella l’inviluppo è dato come ‘luogo’ delle rette BC al variare di B su a.

Come si sa, un punto D sul BC ha come luogo, al variare di B su a, un’ellisse che diventa una circonferenza quando D è punto medio di BC. Vediamo questa ellisse con Cinderella.

Preso un punto P sul segmento MN, tracciare la circonferenza di centro B e raggio NP. Sia D l’intersezione di tale circonferenza con la retta BC. Il luogo geometrico del punto D al variare di B su a è un’ellisse tangente internamente all’asteroide.

Si può ora osservare come cambia l’ellisse quando si sposta il punto all’interno (ma anche all’esterno, sulla retta) del segmento MN.
Tutto questo lo si ottiene anche con altri programmi di geometria dinamica, ma Cinderella permette di fare altro. La figura geometrica può essere mostrata contemporaneamente in ‘viste’ diverse: in particolare la vista ‘testo della costruzione’ mostra che Cinderella non solo ‘riconosce’ che l’ultimo luogo geometrico è una conica, ma ne dà anche l’equazione. La figura seguente mostra la vista ‘testo della costruzione’ relativa all’ellisse costruita sopra l’asteroide.

La prima colonna mostra con un simbolo il tipo di oggetto riferito nella costruzione: l’unico oggetto non qualificato è l’asteroide, denominato E0 nella seconda colonna, descritto nella terza come ‘luogo’ della retta c al variare di B sulla retta a, e (naturalmente) senza equazione nella quarta.
Si osservi ora l’ultima riga della vista ‘testo della costruzione’: l’oggetto C2 è una conica (simbolo in prima colonna) e ha effettivamente l’equazione attesa del tipo a^2 x^2 + b^2 y^2 – 1 = 0, dato che le rette a e b coincidono con gli assi del piano cartesiano (righe 2 e 3 della vista testo).


La vista sferica

Oltre alla vista testo, Cinderella mette a disposizione una ‘vista’ sferica che proietta la costruzione sulla superficie di una sfera.
Ecco come compare sulla sfera una griglia a maglie quadrate:

Ora vediamo il circumcentro nel piano euclideo e sulla sfera:

Con Cinderella si possono osservare proprietà che si conservano e altre che non si conservano nel passare dalla geometria euclidea sul piano alla ‘corrispondente’ geometria sulla sfera. Questa attività può costituire un primo passaggio, più direttamente riferibile all’esperienza quotidiana, verso le geometrie non euclidee.

 

La vista polare

Data una circonferenza, si definisce retta polare del punto A rispetto a tale circonferenza la retta luogo geometrico del punto A’ così costruito:

si prende una retta passante per A e se ne trovano le intersezioni K e H con la circonferenza. Per i punti K e H si portano le tangenti alla circonferenza: la loro intersezione è A’

La polarità, rispetto ad una data circonferenza (più in generale ad una conica) è una relazione biunivoca tra i punti e le rette del piano.
Vale anche il reciproco: data la retta a (sempre fissata una circonferenza), preso un punto A’ su tale retta e portate per A’ le tangenti alla circonferenza nei punti H e K, al variare di A’ le rette HK hanno il punto fisso A che viene chiamato polo della retta a.



Cinderella dispone di strumenti per costruire direttamente la polare ed il polo, rispettivamente di un punto o di una retta dati, rispetto ad una conica.

Nella figura è disegnata l’iperbole passante per i punti A, B, C, D ed E.

Rispetto a questa iperbole, la retta h è la polare del punto H e, viceversa, H è il polo della retta h.

La polarità produce anche una ‘vista polare’ che permette di visualizzare contemporaneamente due figure nelle quali si scambiano i termini ‘retta’, ‘punto’, ‘incidenza’, ‘allineamento’ rendendo così percepibili le proprietà ‘duali’ della geometria.

A sinistra mostriamo il teorema di Pappo e a destra il suo duale ottenuto per sostituzione dei termini:

I punti sono indicati con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole.Dati i punti A, B, C allineati sulla retta a, e i punti D, E, F allineati sulla retta b, si costruiscono i punti:G intersezione delle rette c (passante per i punti A ed E) e g (BD);H intersezione delle rette d (AF) ed e (CD);K intersezione delle rette h (BF) e f (CE).I punti G, H e K sono allineati sulla retta k. Le rette sono indicate con lettere maiuscole, i punti con lettere minuscole.Date le rette A, B, C incidenti nel punto a, e le rette D, E, F incidenti nel punto b, si costruiscono le rette:G passante per i punti c (intersezione delle rette A ed E) e g (BD);H passante per i punti d (AF) ed e (CD);K passante per i punti h (BF) e f (CE).Le rette G, H e K incidono nel punto k.


Cinderella: le Geometrie non euclidee

Cinderella implementa direttamente gli strumenti di calcolo adatti allo studio della geometria non euclidea. E’ possibile costruire figure in geometrie ellittica ed iperbolica oltre che euclidea. Particolari combinazioni tra le geometrie e le viste realizzano modelli classici di geometrie.

Disco di Poincaré. La vista iperbolica della geometria iperbolica rappresenta il modello del disco di Poincaré. Ecco una figura costruita in questo modello.

Nel disco di Poincaré le rette sono circonferenze che incidono il bordo del disco con angoli retti. Per i punti A e B della retta a si portano le perpendicolari c e b. Per il punto C della retta b si porta la perpendicolare d, per il punto D sulla retta c si porta la perpendicolare e. Le rette d ed e si intersecano nel punto E formando un angolo (minore di 103°)
Il pentagono ottenuto ha 4 angoli retti; inoltre la somma dei suoi angoli interni è minore di 540°: questi due fatti non possono succedere nella geometria euclidea.

Vista sferica della geometria ellittica. La vista sferica è la vista naturale per la geometria ellittica: le rette sono i cerchi massimi. A rigore occorre considerare coincidenti i punti antipodali sulla sfera.

Sulla retta A si prendono due punti A e B. Per tali punti si portano le rette b e c perpendicolari ad a.
Le due rette b e c si intersecano nel punto C ed il triangolo ABC, sulla sfera, ha somma degli angoli interni maggiore di 180°

Con questi modelli Cinderella permette di rappresentare in modo efficace concetti che potrebbero risultare per molti dei nostri allievi semplici giochi verbali, troppo lontani dalle loro esperienze e perciò astrusi prima che astratti.


Cinderella come eserciziario. Le figure costruite con Cinderella possono essere salvate come pagine html e lette con un browser di documenti web. In questo modo si possono preparare, o far comporre agli allievi, documenti di geometria arricchiti da figure dinamiche. Una particolare modalità di composizione di pagine web con Cinderella permette di scrivere esercizi geometrici da proporre agli allievi. Gli esercizi consistono nella costruzione di figure geometriche che rispondano a requisiti dati. Nel seguente esempio si chiede di costruire un esagono, dato un lato, o meglio dati i due vertici A e B.

Si costruiscono le due circonferenze di raggio AB, di centro rispettivamente A e B e se ne segna l’intersezione O, centro dell’esagono.
Si costruisce la circonferenza di centro O e raggio AO.
Si segnano i punti C e F, intersezione di questa con le circonferenze iniziali.
Si tracciano le rette AO e BO: queste intersecano la circonferenza di centro O nei punti D ed E: i vertici dell’esagono sono ora determinati.

Ora la costruzione è completa e si può procedere alla composizione dell’esercizio.
Vanno indicati gli oggetti dati della figura, gli strumento di Cinderella da mettere a disposizione degli studenti, il testo di presentazione, gli eventuali suggerimenti, le conferme alla costruzione di oggetti intermedi e degli oggetti finali richiesti. La pubblicazione (in pagina html) dell’esercizio produce questo risultato:

Compaiono tre finestre: sulla sinistra, la finestra della costruzione della figura; sulla destra gli strumenti messi a disposizione dello studente e, sotto, i messaggi da far comparire durante lo svolgimento dell’esercizio.

La pagina web interattiva è, quindi, un sottoinsieme controllato di Cinderella che lo studente deve usare per costruire la figura richiesta.
E’ interessante osservare che Cinderella riconosce gli oggetti in modo indipendente da come sono costruiti. Nell’esempio, dopo aver determinato il centro O dell’esagono, i vertici si possono costruire usando circonferenze successive centrate in C e D. Anche in questo caso il programma fornisce la conferma prevista.


Conclusioni. Spero che queste poche note incuriosiscano qualche collega e lo inducano a voler provare il programma. Una versione dimostrativa, note di approfondimento sulla geometria e sugli strumenti di calcolo sottesi al software, qualche esempio di applicazione didattica sono disponibili nel sito ufficiale del programma che è www.cinderella.de (attenzione al .de finale…).
Un merito largamente riconosciuto ai programmi di geometria dinamica (in particolare per la sua larga diffusione a Cabrì) è di aver riattivato l’interesse per la geometria che risultava, alla fine degli anni 80, molto scemato nelle nostre scuole. Forse Cinderella potrà vantare, come già succede tra i suoi estimatori, quello di far interessare gli insegnanti ad argomenti quali la geometria proiettiva, le geometrie non euclidee, l’analisi complessa, richiamandoli dal limbo dei ricordi degli studi universitari.