6. Numeri primi palindromi

Dal Daily Telegraph, 21 febbraio 2002, il momento più palindromo del secolo.

Anche fra i numeri ci sono i palindromi, che potremmo definire i “narcisi” dei numeri, poiché si riflettono identici, come in uno specchio.
Il 2002 è stato un anno palindromo, come il 1991. Ed è raro che una persona incontri due anni palindromi nel corso della sua vita. Un evento del genere potrebbe capitare soltanto nel 2992 e 3003. Il prossimo anno palindromo sarà invece il 2112.

In particolare sono oggetto di studio e di vaste indagini i palindromi che sono anche numeri primi. Il più piccolo, a parte le nove cifre decimali, è 11 che è anche l’unico primo palindromo con un numero pari di cifre.
Tutti gli altri palindromi con un numero pari di cifre, sono infatti divisibili per 11. E questo discende dal criterio di divisibilità per 11:
un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è uguale a zero oppure è un multiplo di 11.
E per un palindromo con un numero pari di cifre la differenza fra le due somme indicate è sempre zero. Ad esempio, 13579975531 è divisibile per 11 e il risultato della divisione è 123454321.

I palindromi primi di tre cifre sono quindici: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929. Non ne esistono con quattro o sei cifre, mentre sono 93 a cinque cifre: 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, …

M. C. Escher, Whiteblack

Si chiamano repunits i numeri primi contenenti soltanto la cifra uno come, ad esempio 11. I successivi repunits sono

1111111111111111111 (19 uno)
11111111111111111111111 (23 uno)

Seguono il numero formato da 317 uno e da 1031 uno.
Il più grande repiunit, trovato nel 2002 è il numero

(18067^(4201)-1)/18066,

formato da 17879 uno.
Per un aggiornamento sui repunits si veda la pagina web:
http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/GeneralizedRepunit.html

Il più piccolo numero primo di sette cifre contenente soltanto le cifre 7 e 8 è palindromo: 7778777. Il più piccolo numero primo palindromo che contenga tutte e dieci le cifre decimali è 10234569878965543201.

Il più grande primo palindromo oggi noto è, al momento in cui vengono scritte queste righe, quello scoperto da Harvey Dubner nell’aprile del 1999. E’ un numero di 30803 cifre (anche questo è un numero primo palindromo) che inizia è termina con 1; tra questi due 1 c’è una sequenza di zero, con al centro un altro piccolo palindromo. Senza scrivere tutti gli zero, il numero è il seguente:

1000..........0001110111000..........0001

Il record precedente era sempre di Dubner con il seguente numero, di 19391 cifre (ancora un numero primo palindromo) trovato nel gennaio dello stesso anno:

1000..........0004300034000..........0001

Ancora qualche curiosità sui palindromi.

Il numero 795 559 265 009 384 106 è il più grande numero non palindromo il cui quadrato sia un palindromo: 632 914 544 142 271 449 944 172 241 445 419 236.

Una somma di tre numeri palindromi che è ancora un palindromo:
30 103 + 30 203 + 30 403 = 90 709

Ed ecco una bella piramide di numeri palindromi primi, proposta da G. L. Honaker, Jr.