7. La strada per i palindromi

Esiste un algoritmo molto semplice che porta a numeri palindromi. Se si somma un numero qualsiasi al suo inverso e si ripete l’operazione una o più volte, alla fine si ottiene sempre un palindromo.

Ad esempio,

75 + 57 => 132 + 231 = 363

e

79 + 97 => 176 + 671 => 847 + 748 => 1595 + 5951 =>
=> 7546 + 6457 => 14003 + 30041 => 44044

Si può verificare che con numeri di due cifre si arriva a un palindromo alla prima operazione, se la somma delle due cifre è inferiore a 10. Se invece la somma è uguale a 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 o 18, si ha un palindromo rispettivamente dopo 1, 2, 2, 2, 3, 4, 6 e 6 operazioni.

M. C. Escher, Ascending and Descending

Fanno eccezione i numeri di due cifre che sommate danno 17. Il numero 89, ad esempio, arriva a un palindromo soltanto dopo 24 operazioni. Il risultato è 8 813 200 023 188. Si pensa che il procedimento che abbiamo descritto porti sempre a un palindromo, qualunque sia il numero di partenza. Si tratta però di una congettura, che non si è mai riusciti a dimostrare. Ed esiste un numero, 196, che non sembra portare a un palindromo con il procedimento indicato. Nel 2002 si era già arrivati a 66.287.877 iterazioni con un numero di 27.436.906 cifre senza trovare un palindromo. Per un aggiornamento sulla ricerca del palindromo di 196 si veda: http://home.cfl.rr.com/p196/
Una considerazione piuttosto ovvia. Se anche tutti i numeri naturali, dessero origine, prima o poi, a un palindromo, certamente non tutti i palindromi potrebbero essere generati in questo modo. Vale infatti un controesempio. E' facile verificare che un palindromo composto da un numero dispari di cifre e con la cifra centrale dispari, prendiamo 858, non può essere il risultato di una addizione di un numero e del suo rovescio. La cifra centrale dispari non può derivare dalla somma di due cifre uguali, altrimenti sarebbe pari. Allora questa potrebbe essere diventata dispari grazie al riporto di 1 proveniente dall'addizione delle due cifre immediatamente a destra, la cui somma dovrebbe, nel caso del nostro esempio, aver dato 18 e il risultato sarebbe stato 1858, chiaramente non palindromo oltreché formato da un numero pari di cifre anziché dispari, come ipotizzato all'inizio.
Si provi ora, per curiosità, ad eseguire il seguente procedimento:
a) si prenda un numero di tre cifre qualsiasi, purché siano in ordine discendente.
b) si rovesci il numero
c) si sottraggano i due numeri
d) si rovesci il risultato
e) si sommino i due ultimi numeri
Sorprendentemente, si otterrà sempre lo stesso risultato: 1089. Vediamo due esempi:
732 - 237 => 495 + 594 = 1089
841 - 148 => 693 + 396 = 1089
La spiegazione di questo fatto curioso si trova in un bel libro dedicato ai numeri, di Graham Flegg: Numbers, their history and meaning, Penguin Books.
Ancora alcune curiose serie di uguaglianze.

8 x 8 + 13= 77
88 x 8 + 13= 717
888 x 8 + 13= 7117
8888 x 8 + 13= 71117
88888 x 8 + 13= 711117

11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
11^4 = 14641

101^1 = 101
101^2 = 10201
101^3= 1030301
101^4 = 104060401