Gyre e Gimble

a cura di Stefania Serre

Insieme delle parti (power set)

L’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A, e si indica con P(A).

Tra gli elementi di P(A) non bisogna dimenticare i due sottoinsiemi A e Ø.
Ad esempio se allora
Osservando il numero di elementi di P(A) nell’esempio riportato, si può notare che corrisponde a . Questo non è un caso: se A ha n elementi, P(A) ha elementi.

Il cosiddetto ‘Assioma dell’insieme delle parti’ di Zermelo-Fraenkel stabilisce l’esistenza dell’insieme delle parti di qualunque insieme.

Zermelo	Fraenkel

Questo assioma è molto importante all’interno della teoria degli insiemi: infatti Cantor dimostrò che P(A) ha un numero di elementi, o meglio una cardinalità, che è sempre maggiore di A, anche quando A è un insieme infinito. Di conseguenza, partendo da un insieme infinito, è possibile ottenere insiemi sempre più grandi, aventi una differente ‘infinità’ di elementi: in questo modo Cantor arrivò a costruire i numeri transfiniti*.

Cantor