Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Lunule di Ippocrate (Hippocrates' lunes)

Si dice LUNULA una superficie piana delimitata da due archi di cerchio di raggio diverso.

Il nome di Ippocrate di Chio, geometra greco vissuto ad Atene attorno al 450-420 a.C, è strettamente legato ai primi tentativi di quadratura delle lunule.
A quanto dice Aristotele, Ippocrate si dedicò in un primo tempo al commercio; derubato poi dei suoi averi, si fermò ad Atene e si dedicò totalmente alla geometria.
Egli fu il fondatore della scuola geometrica ateniese ed è da considerarsi come il primo grande geometra greco.
Ippocrate si occupò di due problemi che dominarono tutta la geometria greca: la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo.

Ad Ippocrate è dovuto il primo tentativo di esposizione sistematica della geometria in un libro, “Elementi”, andato perduto: pare che Ippocrate conoscesse il metodo di riduzione di un teorema ad altro più semplice e anche il metodo di dimostrazione per assurdo.

Un frammento che Simplicio (520 d.C.) afferma di aver copiato dalla “Storia della Matematica” di Eudemo (320 a.C.) attribuisce ad Ippocrate il teorema secondo cui le aree di due cerchi stanno tra loro come i quadrati costruiti sui loro diametri.

Utilizzando questa proprietà Ippocrate riuscì facilmente ad ottenere la prima rigorosa quadratura di un’area curvilinea (quella di alcune particolari lunule) cioè a trovare con riga e compasso un quadrato di area equivalente a quella dell’area curvilinea.

Ne riportiamo brevemente una dimostrazione.

Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele inscritto nel semicerchio di centro O e raggio r e sia AEC il semicerchio avente AC come diametro.

Dal momento che le aree di due semicerchi stanno tra loro come i quadrati costruiti sui loro diametri si ha che

e quindi Area AOCD =½ Area semicerchio ABC =Area semicerchio ACE.
Sottraendo alle due superficie l’area comune ACD (in viola) si ottiene

Area lunula ACE = Area triangolo AOC.

Questo risultato è detto quadratura perché si è trovato che un’area curvilinea è uguale ad un’area limitata da segmenti di retta che può essere facilmente calcolata.
Ippocrate ha anche dimostrato che se sul diametro di un semicerchio si costruisce un trapezio isoscele con tre lati uguali e se sui tre lati uguali si costruiscono semicerchi, allora il trapezio ha un’area uguale alla somma delle tre lunule e del semicerchio costruito su uno dei lati uguali del trapezio

+

=

Da questa seconda quadratura seguirebbe che, se si possono quadrare le lunule, anche per il semicerchio e quindi per il cerchio- si può ottenere la quadratura.
Sembra che questa conclusione abbia fatto sperare ad Ippocrate e ai suoi successori che alla fine si sarebbe riusciti a quadrare il cerchio; si dovette attendere il 1882 perché F. Lindemann dimostrasse l’impossibilità della quadratura del cerchio.