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Se
un infinito è più infinito di un altro Può una parte coincidere con il tutto? Sì, se si
tratta di insiemi infiniti. La storia di Georg Cantor malato di mente
e matematico che ha scoperto il "giardino segreto" degli infiniti. SE ARRIVASSE QUALCUNO, mettiamo un matematico, che con dovizia di particolari
e di prove annunciasse che l'infinito non esiste in un'unica copia -
cosa che di per sé è già faticosa a pensarsi -,
ma ci confidasse che ce ne sono molti, anzi infiniti: come rimarremmo?
Se poi aggiungesse che, in verità, gli infiniti sono sì,
infiniti, ma esistono infiniti che sono più infiniti di altri,
che sono più numerosi: come la prenderemmo? Eppure, per assurdo
che possa sembrare, un qualcuno che ha fatto affermazioni così
apparentemente paradossali e anti-intuitive è esistito. Il suo
nome è Georg Cantor. Personaggio forse non troppo nominato nella
stagione "neopitagorica" di questi mesi, eppure stella di
primo piano nel firmamento dei matematici di tutti i tempi. Anch'egli,
come altri suoi colleghi, soffrì di gravi disturbi psichici.
Come Kurt Gödel - che a lungo studiò i risultati sull'infinito
di Cantor - morì di inedia, nella Nervenklinik della città
tedesca di Halle, il giorno dell'Epifania del 1918. Dopo i paradossi di Zenone, le speculazioni tardo-antiche e medievali
sull'infinito, sull'infini Questa intuizione galileiana è una delle basi su cui si sviluppò
il ragionamento di Cantor. Egli arrivò all'infinito ragionando
sugli insiemi, sui quali sviluppò una teoria che - insieme alla
definizione di numero in termini insiemistici data da Giuseppe Peano
- sarà alla base della matematica del '900. Nel 1874, attraverso
un procedimento detto "diagonalizzazione", Cantor estende
la scoperta di Galilei: anche i numeri razionali (le frazioni) sono
tanti quanti i numeri interi positivi. Su queste basi elabora la dottrina
dei numeri transfiniti, quei numeri che connotano insiemi infiniti di
differenti ordini. Per esempio, i numeri reali (razionali e irrazionali
uniti) sono più numerosi dei naturali: sono anch'essi infiniti,
ma di più. A questa scala di infinità Cantor assegnò
la prima lettera dell'alfabeto ebraico, l'aleph, con l'aggiunta di un
indice numerico crescente. "Lo vedo, ma non ci credo", scrisse
Cantor a un altro grandissimo della storia della matematica, Richard
Dedekind, in una lettera del 29 giugno 1877. La moltiplicazione degli
infiniti era un risultato difficile da sostenere per una mente fragile
come la sua. Una moltiplicazione che però avrebbe rivoluzionato
il corso della matematica. Un capitolo a parte merita la malattia di cui ha sofferto Cantor per tutta la sua vita. Malgrado non fosse chiara la natura del suo disturbo, ci sono molti indizi che inducono a pensare che fosse di tipo maniaco depressivo. Durante la prima convalescenza, nel 1884, Cantor subì una trasformazione: divenne uno studioso di William Shakespeare. Si prefisse l'obiettivo di dimostrare che i testi del più grande scrittore di lingua inglese fossero in realtà opera del filosofo Francis Bacon. Ogni volta che veniva dimesso dalla clinica psichiatrica, Cantor si metteva a lavoro per dimostrare la sua congettura, ritenendosi un grande esperto di letteratura inglese. Arrivò a esporre le sue illazioni in convegni e conferenze senza, però, essere preso troppo sul serio dal pubblico. A questi e altri temi legati alla vita e ai risultati scientifici di Georg Cantor, Amir Aczel dedica la sua ultima fatica di divulgatore matematico: Il mistero dell'alef (il Saggiatore 2002). Un libro che "si fa leggere", anche da chi non conosce benissimo analisi e teoria degli insiemi. L'autore, tuttavia, come capita ad alcuni matematici che si appassionano per la cultura umanistica, forse esagera con i collegamenti a discipline lontane. La storia matematica dell'infinito appare completa e i riferimenti ai matematici del XIX e XX secolo appropriati. Le figure di Gödel e Cohen, i due matematici che hanno approfondito i risultati di Cantor, sono descritte con precisione. Meno calzanti e un po' "tirati via" sono i collegamenti con la religione e la mistica ebraica. Per certi versi il capitolo dedicato alla qabbalah è eccessivamente separato dal resto del libro. L'aleph è certamente significativa per Cantor, ma forse questo non giustifica fino in fondo l'interpretazione misteriologica che ne dà Aczel. Recensione al libro di Amir Aczel, Il mistero dell'Aleph, La ricerca dell'infinito tra matematica e misticismo, Il Saggiatore, 2002 da RES, 06//11/02 |
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di Dio, dopo il passaggio dal mondo chiuso all'universo infinito - per
riprendere il titolo di un celebre libro dello storico della scienza
Koirè - fu Galilei a porre una questione tanto semplice quanto
dirompente nella riflessione sugli insiemi infiniti. Lo scienziato pisano
notò che, nel caso di insiemi infiniti, può verificarsi
che un insieme e una sua parte possano avere lo stesso numero di elementi.
Un tale sottoinsieme sarebbe una porzione di un insieme, ma possiederebbe
lo stesso numero di elementi dell'insieme che lo contiene. Affermazione
apparentemente sconcertante, eppure veritiera. Facciamo un esempio:
i numeri naturali (1, 2, 3, …) sono tanti quanti i numeri pari
(2, 4, 6, …). Se si dispongono, infatti, su due linee parallele
possono essere messi in corrispondenza biunivoca: ad ogni numero naturale
corrisponde un numero pari. L'insieme dei numeri naturali, per dirla
con Cantor, ha la stessa cardinalità di quello dei numeri pari.