NUMERI

aprile 2008

numeri gemelli

Se i numeri primi sono già un’élite fra i numeri, sono i principi dei numeri, ancora più esclusivi sono i numeri primi gemelli. Questi infatti, oltre ad essere numeri primi, devono essere separati da un unico numero. Se p è un numero primo, la coppia di gemelli sarà p e p + 2. Più semplicemente possiamo dire che due Primi Gemelli sono due numeri dispari la cui distanza è 2. Il primo a battezzare gemelli questi particolari numeri primi, è stato Paul Stäckel, un matematico tedesco esperto in Teoria dei Numeri.

Paul Stäckel, 1862 - 1919

Le prime coppie di Primi Gemelli sono: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19 , 29 e 31 , 41 e 43, 59 e 61, 71 e 73, 101 e 103, 107 e 109, 137 e 139, 149 e 151 , 179 e 181, 191 e 193, 197 e 199, 227 e 229, 239 e 241, 269 e 271, 281 e 283, 311 e 313 , 347 e 349 , 419 e 421 , 431 e 433, 461 e 463, 521 e 523, 569 e 571, 599 e 601, ... C’è una prima formula relativa ai Primi Gemelli: tutti, tranne la prima, 3 e 5, com’è facile verificare, sono della forma 6n ± 1 Ad esempio 5 e 7 => 6 ± 1, 11 e 13 => 6x 2 ± 1, 17 e 19 => 6 x 3 ± 1, e così via.

Diane Arbus, Identical Twins, 1967

Quanti sono i Primi Gemelli? Sono infiniti? Si pensa di sì, ma nessuno finora è riuscito a dimostrarlo e quindi resta una “congettura”, una sfida ai matematici più bravi in Teoria dei Numeri.
La più grande coppia di Primi Gemelli è

2003663613 • 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ ± 1

un numero di 58.711 cifre, scoperto nel gennaio 2007, da un team composto da: Eric Vautier (Francia), Dmitri Gribenko (Ucraina), Patrick W. McKibbon (U.S.A.), Michael Kwok (U.S.A.), Andrea Pacini (Italia), Rytis Slatkevicius (Lituania).
Successivamente, nel giugno 2007, è stata scoperta un’altra coppia molto grande,
194772106074315 • 2¹⁷¹⁹⁶⁰ ± 1
che però ha “soltanto” 51.780 cifre. Si colloca al secondo posto nella classifica dei Primi Gemelli più grandi. L’ultima di grandi dimensioni è la coppia
1046619117 • 2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ± 1
scoperta nell’ottobre 2007, con 30113 cifre, al nono posto nella classifica dei Primi Gemelli più grandi.
Nel 1919, un matematico norvegese, Viggo Brun, dimostrò che la somma dei reciproci dei Primi Gemelli converge a una costante, nota come costante di Brun:

La stima migliore per questa costante, calcolata nel 2002 ,con tutti i Primi Gemelli fino a 10¹⁶ , è:

B₂ ˜ 1.902160583104

Se questa serie non fosse stata convergente, ma divergente, avremmo avuto una dimostrazione della congettura dei Primi Gemelli.

Fotogramma del film I Cugini di Claude Chabrol

E la nostra ricerca è solo all’inizio. Ci sono ancora molti spazi da esplorare. Ad esempio, oltre ai Primi Gemelli, esistono i Cugini Primi e i Primi Sexi.

I numeri primi sono Cugini se, dato p numero primo, è primo anche p + 4, e sono Sexi se sono primi p e p + 6.

Le prime coppie di Cugini Primi sono:

3 e 7, 7 e 11, 13 e 17, 19 e 23 , 37 e 41, 43 e 47, 67 e 71, 79 e 83, 97 e 101, 103 e 107, 109 e 113, 127 e 131, 163 e 167, 193 e 197, 223 e 227, 229 e 233, 277 e 281, 307 e 311, 313 e 317, 349 e 353, 379 e 383, 397 e 401, ...

La più grande coppia di Cugini Primi è quella trovata nel gennaio 2006:

e

Due numeri di 11.311 cifre.

Anche per i Cugini Primi vale una congettura analoga a quella dei Primi Gemelli.
E, in analogia con la costante di Brun dei Primi Gemelli esiste una costante di Brun dei Cugini Primi:

La miglior approssimazione di questa costante, calcolata nel 1996, è
B₄ ˜ 1.1970449

E vediamo ancora i Primi Sexy, due numeri primi la cui distanza è 6. Ad esempio, sono una coppia di Primi Sexy 5 e 11.
Le prime coppie di Primi Sexy sono:

5 e 11, 7 e 13, 11 e 17, 13 e 19, 17 e 23, 23 e 29, 31 e 37, 37 e 43, 41 e 47, 47 e 53, 53 e 59, 61 e 67, 67 e 73, 73 e 79, 83 e 89, 97 e 103, 101 e 107, 103 e 109, 107, 113, 131 e 137, 151 e 157, 157 e 163, 167 e 173, 173 e 179, 191 e 197, 151 e 157, 157 e 163, 167 e 173, 173 e 179, 191 e 197, 193 e 199, 223 e 229, 227 e 233, 233 e 239, ...

La più grande coppia di Primi Sexy è stata scoperta nel 2005. Ha 10.154 cifre:
p = (48011837012 • ((53238 • 7879#)² - 1) + 2310) • 53238 • 7879#/385 + 1, dove 7879# è un primoriale.
Aggiungiamo questa nuova parola al nostro dizionario: primoriale di un numero n, con n = 2, che si indica con n#, è il prodotto di tutti i numeri primi inferiori o uguali ad n. Ad esempio, 7# = 210 è un primoriale uguale al prodotto dei primi quattro numeri primi, 2 x 3 x 5 x 7.

Invitiamo chi ci legge a proseguire questa ricerca. Attraverso i link che segnaliamo si potrà approfondire lo stato dei lavori relativo alla celebre congettura e scoprirà nuove, curiose specie di numeri primi. Le belle famiglie di terne e quaterne di numeri primi, ad esempio, le coppie p e p + 8, p e p + 10, p e così via. Buon divertimento con la Teoria dei Numeri!

Arnold Schwarzenegger e Danny DeVito, protagonisti del film Twins di W. Davies

La congettura dei Primi Gemelli, di Alessandro Languasco:
http://matematica.unibocconi.it/LangZac/primigemelli3.htm

Un’ampia presentazione dei Primi Gemelli:
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
dei Cugini Primi:
http://mathworld.wolfram.com/CousinPrimes.html

Le prime venti coppie di Primi Gemelli:
http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1

Le congetture sui numeri primi:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html

Le pagine delle Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_primo_gemello
http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime_conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime
http://en.wikipedia.org/wiki/Cousin_prime
http://en.wikipedia.org/wiki/Sexy_prime

Introduzione ai Primi Gemelli e alla costante di Brun:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html