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NUMERI
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Unum et unum duo,
duo et duo quator,
odiosa cantio mihi erat
SantAgostino
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| La Trinità a Melle (CN) in
Val Varaita. E’ un affresco del Quattrocento, opera probabilmente
dei fratelli Biazaci, che raffigura la Trinità con un’antica,
curiosa iconografia, condannata dal Concilio di Trento: sono tre
persone maschili identiche, sedute una accanto all’altra,
che sembrano uscire da un unico corpo. Una mano indica il numero
tre, l’altra mano tiene un libro, probabilmente la Bibbia.
Foto F. P. |
Giugno
2007
| 383
sono le parti per milione di CO2 presenti nell’aria
a Whasington, lo denuncia Al Gore. Erano 300
nel 1938, una quota mai superata nell’ultimo
milione di anni. |
451
è la temperatura, in gradi Fahreheit, alla quale brucia la
carta. E’ il titolo di un romanzo di Ray Bradbury. E’
il titolo di un film di Francois Truffaut ed è il titolo
di uno spettacolo teatrale diretto da Luca Ronconi.
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| 451
è il più piccolo numero il cui reciproco abbia un
periodo di 10 cifre. |
40
litri ogni 100 vanno persi negli acquedotti italiani.
Sono i 2/5, già persi in partenza. |
| 5
ore o più davanti alla televisione: le passano il 6,6%
dei bambini tra i 7 e gli 11 anni.
L'8,3% la guarda da 4 a 5
ore, il 43,6% da 1 a 3
ore al giorno; il 26,5% lo fa per meno di un'ora,
il 10% non guarda la Tv tutti i giorni. Rispetto
al 2005, sono aumentati quelli che guardano la
Tv da 1 a 3 ore al giorno e diminuiti
quelli che la guardano per meno di un'ora. (Eurispes) |
32,10era
l’età media degli sposi nel 2000 ed
è salita a 33,61 nel 2004,
mentre l’età media delle spose era, nel 2000,
28,90 ed è salita nel 2004
a 29,45 (ISTAT). |
| 31anni
è l’età media delle mamme italiane contro i
26,6 della media europea (Dati del 2004).
E sono diminuiti in dieci anni dall’8,4%
al 6,5% i nuclei con 3 o più
figli. |
16figli,
10 maschi e 6 femmine, della coppia
americana Jim e Michelle Duggar dell’Arkansas. E’ probabilmente
un record mondiale. Hanno calcolato che ogni settimana consumano
mediamente 80 litri di latte, 15
forme di pane, 6 chili di burro. E poi 35 chili
di mele, 30 di patate, 24 di gelato,
20 di riso, 15 di mais e di frutta
surgelata, 5 di carne di pollo. |
| 73
per cento, sono gli adolescenti tra i 12 e i 19
anni che hanno avuto occasione di effettuare viaggi all'estero.
Questo anche in seguito alla diffusione di programmi di scambio
culturale e scolastico e alla riduzione delle tariffe aeree.
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73
è il ventunesimo numero primo, lo precede 71,
con il quale forma l’ottava coppia di numeri primi gemelli.
E’ il più piccolo numero (a parte 1)
che sia uguale al doppio del numero con le cifre rovesciate, meno
uno. |
| 145
milioni sono i bambini orfani nel mondo. In Italia sono 34
mila. Lo Stato in media per un bambino in assistenza (istituto)
spende 10.695 euro all’anno contro i 5.200
euro per singolo minore in affidamento.
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500
mila sono le “auto blu”, le vetture di servizio, assegnate
d’ufficio a politici, amministratori e dirigenti pubblici.
Sono 574.215, per la precisione, contro le 73.000
degli Stati Uniti, che ha una popolazione di 300
milioni di abitanti, 65.000 della Francia, 58.000
del Regno Unito e 54.000 della Germania.
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| 14
minuti e 12 secondi senza respirare. Il record
è stato ottenuto a Milano da Tom Sietas (Germania), sotto
3 metri d’acqua, il 5 gennaio
2006.
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22
sono i parchi Nazionali in Italia. Coprono una superficie di circa
1 milione e quattrocentomila ettari, che corrispondono a circa il
5% del territorio nazionale. Il primo istituito
in Italia nel 1921 è stato il Parco Nazionale
d’Abruzzo, Lazio e Molise, il più grande è il
Parco Nazionale dello Stelvio. |
NUMERI
DI CARMICHAEL
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| Manifesto del film
The Great Ecstasy of Robert Carmichael, diretto da Thomas
Clay, presentato a Cannes 2005 (R. Carmichael non è il matematico...
probabilmente è soltanto un caso di omonimia, che ci consente
di proseguire nel nostro gioco “tra matematica e cinema”). |
Robert Daniel Carmichael
(1879–1967) è un matematico americano, nato a Goodwater
in Alabama, allievo di George David Birkhoff. I suoi lavori riguardano
in particolare le equazioni differenziali e la Teoria dei numeri. Ma
la sua fama è legata a una specie particolare di numeri da lui
scoperta nel 1910. Sono noti come i Numeri di Carmichael.
Un numero di Carmichael diminuito di 1, ha come divisori i fattori del
numero stesso diminuiti di 1. Ad esempio, 561 che è il più
piccolo numero con questa proprietà, ha come fattori primi 3,
11 e 17. Questi fattori diminuiti di 1, cioè 2, 10 e 16, sono
divisori di 561 – 1 = 560.
Vediamo ancora un esempio. Il successivo numero di Carmichael è
1105 = 5 • 13 • 17 . I suoi fattori primi, diminuiti di
1, cioè 4, 12 e 16 sono divisori di 1105 – 1 = 1104.
Carmichael ne scoprì 15 e avanzò la congettura che potessero
essere infiniti. Tale congettura venne dimostrata soltanto nel 1994
da Red Alford. Inoltre è stato dimostrato che n è
un numero di Carmichael soltanto se è il prodotto di almeno tre
fattori primi differenti tali che n – 1 sia divisibile
per il fattore meno 1.
I primi numeri di Carmichael sono 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601,
8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46.657, ...
Il terzo numero di Carmichael 1.729 è noto come il Numero di
Hardy-Ramanujan (ne parla Hardy nella sua Apologia di un matematico,
Garzanti): il più piccolo numero che si può scrivere come
somma di due cubi in due modi diversi.
I più piccoli numeri di Carmichael con 3, 4, 5, ... fattori sono
561 = 3 x 11 x 17, 41041 = 7 x 11
x 13 x 41, 825265 = 5 x 7 x 17 x 19 x 73, 321197185
= 5 x 19 x 23 x 29 x 37 x 137, 5394826801 = 7 x 13
x 17 x 23 x 31 x 67 x 73, ...
Il più piccolo numero di Carmichael con 20 fattori è:
n = 11 x 13 x 17 x 19 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 61 x 71 x 73 x 97 x
101 x 109 x 113 x 151 x 181 x 193 x 641
In linguaggio più matematico possiamo
dire che un numero di Carmichael è un numero dispari n
che soddisfa il piccolo teorema di Fermat, al quale soddisfano
tutti i numeri primi:
per ogni a e n primi fra loro,
con 1 < a < n.
Da questa proprietà deriva l’importanza dei numeri di Carmichael.
Soddisfano infatti il test di primalità di Fermat pur
essendo numeri composti.
E’ stato dimostrato che i numeri della forma
(6k
+ 1) (12k + 1) (18k + 1)
sono numeri di Carmichael se ogni fattore
è un numero primo.
I numeri di Carmichael sono infiniti ma sono rari nella successione
dei numeri. Sono infatti soltanto 2.163 quelli inferiori a 25.000.000.000,
246.683 inferiori a 10.000.000.000.000.000 e 1401644 inferiori a 10.000.000.000.000.000.000
(quest’ultimo risultato è recentissimo. E’ stato
ottenuto da Richard Pinch nell’aprile 2006).
I numeri di Carmichael su Matworld:
http://mathworld.wolfram.com/CarmichaelNumber.html
I numeri di Carmichael sulla Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Carmichael
Un’ampia tabella dei numeri di Carmichael:
http://de.wikibooks.org/wiki/Pseudoprimzahlen:_Tabelle_Carmichael-Zahlen
Due suoi testi free online: The Theory
of Numbers e Diophantine Analysis:
http://www.gutenberg.org/etext/13693
http://www.gutenberg.org/etext/20073
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