NUMERI

novembre 2009

I numeri che segnaliamo questo mese sono i Numeri di Harshad, un termine che deriva dal sanscrito harṣa e che significa “Grande Gioia”. E’ stato il matematico indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar a battezzare con questo termine una nuova curiosa specie di numeri.
Non potevano essere chiamati i numeri di Kaprekar perché questo era già il nome di un’altra specie di numeri, che lo stesso matematico aveva scoperto in precedenza.

Ivan M. Niven, 1915 - 1999

Sono noti anche come Numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven canadese – americano, noto esperto in Teoria dei numeri. Continueremo comunque a chiamarli i Numeri della Grande Gioia, ricordando che sono stati dedicati a Ivan Morton Niven.
La definizione di questi numeri è molto semplice. Sono numeri di Harshadquelli che sono divisibili per il numero che rappresenta la somma delle loro cifre.
Ad esempio:

144 è un numero di Harshad, perché la somma delle sue cifre è
1 + 4 + 4 = 9
e 144 è naturalmente divisibile per 9. Anche 7326 è un numero di Harshad. Infatti 7 + 3 + 2 + 6 = 18 e 7326 = 18 x 407.

I primi 50 numeri di Harshad sono i seguenti:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Nel 1994, la matematica Helen G. Grundman ha provato che esistono, sempre in base 10,  al massimo 20 numeri consecutivi che siano tutti numeri di Harshad, Non esistono quindi 21 numeri consecutivi, tutti numeri di Harshad. Il più piccolo insieme di 20 numeri consecutivi, tutti di harshad, è stato trovato da Grundman, ma non possiamo riportarlo perché ognuno di questi numeri  ha
44 363 342 786 cifre.

Gli Harshadmorfi

Una sottospecie interessante dei numeri di Harshad è quella dei numeri Harshadmorfi. Sono tali i numeri che oltre ad essere divisibili per la somma delle loro cifre, terminano anche con le stesse cifre.
Ad esempio:

la somma delle cifre del numero 16218 è 1 + 6 + 2 + 1 + 8 = 18 e lo stesso numero termina con 18. Quindi 16218 è un numero Harshadmorfo.

Ancora una curiosità. Se un numero di due cifre è un numero di Harshad, lo saranno anche tutti i numeri ottenuti inserendo tra le due cifre del numero dato un numero qualunque di zeri. Ad esempio 21 è un numero di Harshad, infatti la somma delle sue cifre, 2 + 1 = 3,  divide tale numero. Possiamo inserire tra le due cifre del numero quanti zeri vogliamo e avremo sempre come risultato numeri di Harshad.
Tali sono infatti 201, 2001, 20001, e così via, con infinite soluzioni.

Provi il lettore più curioso a dimostrare questa proprietà, in generale.