|
Sudoku e quadrati magici Il nuovo gioco nasce dai
quadrati greco – latini di Eulero
1. Lo Shu e Latercolo pompeiano, gli antichi quadrati magici
I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri.
2.
I quadrati greco – latini di Eulero
Molti matematici si sono occupati di quadrati magici, come Leonhard Euler, uno dei più grandi matematici della storia, che pubblicò un ampio studio sull’argomento, in cui presentava una “nuova specie di quadrati magici, battezzata quadrati latini e quadrati greco – latini. Ora, dopo più di due secoli, questi ultimi ritornano d’attualità, rilanciati in Giappone con il nome di “Sudoku”, un gioco che raccomandiamo come ottimo allenamento matematico, non di calcolo, ma di ragionamento e intuizione, quelle che sono le vere qualità del matematico. Prima di presentare il nuovo gioco, rendiamo
però merito al grande Eulero, presentando le sue tabelle quadrate,
costruite secondo precise regole di composizione, utilizzando le
lettere dell’alfabeto latino o greco e, nelle forme un po’
più complicate, quelle latine e quelle greche insieme. Per capirci,
riportiamo in figura, due quadrati quattro per quattro, quindi di sedici
caselle, nelle quali sono sistemate le prime quattro lettere dell’alfabeto
latino, in modo che non ci siano ripetizioni su righe e colonne e a
fianco la stessa operazione fatta però con le prime quattro lettere
dell’alfabeto greco. Un po’ più complessi, dicevamo,
sono i quadrati greco – latini per i quali si impone la regola
precedente, sia per le lettere latine sia per quelle greche.
3.
Applicazioni dei quadrati greco – latini Naturalmente, le lettere possono rappresentare qualsiasi cosa. Ad esempio, provi il lettore, dopo aver estratto da un mazzo di carte i quattro re, le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi, a sistemarli in un quadrato quattro per quattro, in modo che su ogni riga e su ogni colonna si trovino i quattro tipi di carte e i quattro semi, senza ripetizioni. Come secondo esempio, proponiamo al lettore di costruire una scacchiera cinque per cinque, con le caselle di cinque colori diversi, tale che ogni riga e ogni colonna contenga tutti e cinque i colori senza ripetizioni e ogni casella abbia un colore diverso dalle caselle che la circondano.
Un campo con una coltivazione che usa cinque diversi trattamenti, secondo una sistemazione a quadrato latino 5 per 5. Immagine da: http://www.ams.org/featurecolumn/archive/latinI2.html
I quadrati latini e greco – latini
hanno diverse applicazioni. Ad esempio, possono tornare utili in statistica
per organizzare test e indagini dandone inoltre la migliore rappresentazione
grafica, come scrivono Tony Phillips e Stony Brook in una accurata
presentazione di questi quadrati sul sito della AMS, American
Mathematics Society. Supponiamo, ad esempio, di voler testare l’efficacia
di 5 diversi fertilizzanti per una coltivazione di cereali.
Possiamo spargere il fertilizzante su un campo, procedere poi Al raccolto,
e misurare infine la produzione per unità di area. In questo
modo saremmo obbligati ad eseguire i cinque esperimenti su cinque campi
diversi, le cui caratteristiche potrebbero anche essere diverse. Dividiamo
invece un unico appezzamento in 5 x 5 parti più piccole, alle
quali applichiamo i fertilizzanti secondo lo schema del quadrato latino,
e ne ricaveremo un test più preciso. Questa idea semplice, ma
geniale, è di un grande esperto di statistica, W. S. Gosset che
era impiegato alla birreria Guiness di Dublino. La birreria
era ovviamente una gran consumatrice di orzo e Gosset sfruttò
le sue conoscenze per suggerire il modo di incrementarne la produzione,
realizzando schemi, quale quello che abbiamo appena visto, che avevano
proprio le caratteristiche dei quadrati latini.
I due possibili quadrati latini di ordine due, cioè 2 x 2.
Uno degli ultimi quadrati proposti da Eulero, a 76 anni, pochi mesi prima di morire, nel 1783, fu un diabolico quadrato di 81 caselle che potevano essere riempite in un’infinità di modi diversi, con l’inserimento dei numeri da uno a nove, su ogni riga e su ogni colonna, senza ripetizioni. Questo è praticamente il Sudoku, il “nuovo” gioco che dal Giappone si è diffuso rapidamente in tutto il mondo. Come il “Gioco del quindici”, il “Cubo di Rubick”, il “Punto e croce” e di tutti gli altri puzzle che periodicamente ritornano di moda, anche il Sudoku è diventato una vera mania, con milioni di “sudokulisti” appassionati.
Le regole sono molto semplici e occorre soltanto una matita e un foglio di carta. Si gioca su una tabella di nove per nove caselle in ognuna delle quali si deve inserire una cifra, da uno a nove. Ogni riga e ogni colonna deve contenere tutte le cifre da uno a nove, senza ripetizioni. Condizione ulteriore, e questa è la novità, anche ogni blocco di caselle tre per tre, contrassegnato da linee più marcate, deve contenere le nove cifre, senza ripetizioni. Il Sudoku si presenta con una parte delle cifre già inserite nelle caselle. Per essere un vero Sudoku, deve inoltre avere un’unica soluzione. Richiede normalmente dai dieci minuti alla mezz’ora per essere risolto. Il nome originale del gioco, lanciato vent’anni fa dalla Nikoli, una casa editrice giapponese specializzata in giochi, era Suji wa dokushin ni kagiru ovvero “Numeri limitati ad una sola persona”, un nome sintetizzato in Sudoku, “Numeri unici”. Nikoli confessa però di averlo scoperto per caso su una rivista americana nel 1984, la Dell Puzzle Magazines, specializzata in parole crociate e altri puzzle. L’editore di questa rivista, Abby Taylor, precisa: “Nessuno sa di preciso quando abbiamo incominciato a produrre questo tipo di giochi, ma la copia più vecchia che ho trovato in archivio è del 1979. Il gioco, che pubblichiamo ancora oggi, era stato battezzato Number Place”. La rivista americana presentava però puzzle di un’ingenuità sconcertante, dicono i giapponesi. Alcuni dei quadrati 9 x 9 avevano già, su una riga o su una colonna, otto delle nove cifre richieste. Nikoli ha ridotto il numero delle cifre presenti nel quadrato, introducendo alcune simmetrie nella posizione delle cifre, con l’intenzione di offrire “81 celle – afferma – di crudele bellezza”. La condizione ulteriore del quadrato 9 x 9 diviso in blocchi 3 x 3, nei quali non ci siano ripetizioni dei nove numeri, riduce notevolmente il numero dei quadrati latini possibili che passano da 5.524.751.496.156.892.842.531.225.600 a 6.670.903.752.021.072.936.960 Quest’ultimo valore, che rappresenta il numero di soluzioni uniche del Sudoku è stato calcolato da Bertram Felgenhauer di Dresda, e il suo calcolo si trova a questa pagina: http://www.sudoku.com/forums/viewtopic.php?t=44&start=138 Tenendo conto che per risolvere un Sudoku ci vuole mediamente mezz’ora, riviste e giornali hanno quindi un rifornimento di Sudoku sufficiente per migliaia di anni: un mare di Sudoku in cui si rischia di affogare. Soltanto in questi ultimi anni è
arrivato il successo, dapprima in Giappone e in seguito, dalla Gran
Bretagna, dov’è sbarcato nel novembre dello scorso anno,
in tutto il mondo. E’ stato Wayne Gould, un giudice neozelandese
in pensione, che vive a Hong Kong, ad introdurre il gioco in Europa.
Dopo aver acquistato in Giappone un libro dedicato al gioco, decise
di scrivere un programma per generare le tabelle del Sudoku al computer.
Ed è lui che oggi trasmette i Sudoku a decine di giornali
in tutto il mondo, a cominciare dal Times, il primo
giornale inglese che ha aperto una rubrica per il nuovo gioco, nel novembre
dello scorso anno. “I puzzle di Gould – afferma il Times
– vengono costruiti con una serie di indizi che portano, logicamente,
alla soluzione. Osservate attentamente uno dei suoi puzzle e scoprirete
sempre un certo grado di simmetria”. Gould li paragona alla pittura
giapponese: “Sono come un fiore – dice – o una casa
dipinta con un numero di tratti minimo.
Per richiedere e scaricare il gioco è sufficiente inviare un SMS ad una delle aziende che forniscono questo servizio. Si riceverà un link WAP da cui si potrà scaricare il gioco. Segno del successo del gioco è l’aumento della tiratura dei giornali che hanno adottato il Sudoku, i diversi libri di Sudoku diventati immediatamente bestseller, inoltre i tornei di Sudoku e soprattutto le pagine web in continuo aumento a confermare il successo del gioco. Se nelle città si misura il calo del consumo d’acqua, per valutare quanti sono andati in vacanza, per il Sudoku si può valutare l’interesse e il successo dal numero di pagine dedicate a tale argomento presenti su Internet. Ebbene, per il Sudoku, le pagine erano 135 mila a giugno, salite a trecentomila ai primi di luglio e oggi sono quasi tre milioni.
Il Sudoku è arrivato anche in televisione, protagonista di molte trasmissioni con servizi, interviste e gare in diretta. Sovente viene presentato come un gioco che non ha nulla a che fare con la matematica, ma che richiede soltanto logica e intuizione ... che sono invece le vere abilità richieste al matematico. Wayne Gould, giustamente, ritiene che debba essere portato in classe, come prezioso esercizio per le giovani menti degli studenti. “Può essere molto utile per portare lo studente al ragionamento logico – afferma – per acquistare una maggior confidenza con i numeri e per sviluppare le sue abilità organizzative”. In Italia il successo è arrivato con l’estate. E’ nata una nuova rivista di “Giochi per la mente” si chiama Logic Art e apre con un ampio spazio dedicato al Sudoku. Molti giornali, il primo è stato il Secolo XIX di Genova seguito dal Corriere della Sera e dalla Repubblica, hanno adottato il nuovo gioco. I nostri studenti, accanto ai compiti delle vacanze, hanno così potuto aggiungere qualche esercizio un po’ più divertente e sicuramente più utile di un calcolo numerico o letterale. Ma per fare veramente “matematica” bisogna uscire dalla gabbia dei 9 x 9 numeri. E’ necessario “rompere il cerchio”, per riprendere il titolo di un film ungherese di Peter Bacsò, nel quale il protagonista, un operaio, chiedeva a un suo amico di costruire con sei fiammiferi quattro triangoli equilateri aventi per lato un intero fiammifero
Se presentiamo i sei fiammiferi nel piano, ad esempio su un tavolo, difficilmente si penserà al passaggio dalle due alle tre dimensioni per trovare la soluzione. E’ necessario rompere il cerchio. Questa è una delle prime qualità del matematico: saper superare schemi e pregiudizi e vedere oltre l’apparenza. Nel caso del Sudoku si potrà avviare un’indagine partendo dal numero di quadrati latini 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, come abbiamo già visto nella tabella precedente, scoprire poi la regola che ci permette di trovare il numero di quadrati latini n x n. Passare al numero dei Sudoku di varie dimensioni, provando a sperimentale quelli 4 x 4, divisi in quattro quadretti 2 x 2 oppure i 6 x 6 divisi in quattro quadrati 3 x 3, più semplici del Sudoku originale e che potremmo battezzare Sudokinder. Oppure potremmo studiare i Sudodevil, i Sudoku del diavolo, 16 per 16, divisi in sedici quadrati 4 x 4, naturalmente con sedici simboli diversi. E perché non tentare il Sudoku tridimensionale? Lo presenta già il Daily Telegraph che lo ha chiamato SudoKube e che vedremo più avanti. Questo è un esempio del fascino discreto della matematica, che si può scoprire e apprezzare anche partendo da un semplice gioco estivo. Federico Peiretti da LA STAMPA, 13/07/05
I gemelli
Osserviamo le tabelle qui riportate. Il
giocatore ha già trovato le cifre più evidenti. Ha trovato
il 9 del quadrato a sinistra di quello centrale e tenta di collocare
il 9 nel primo quadrato in alto a sinistra. Sembra un'impresa impossibile
avendo soltanto un 9 sulla prima riga in alto e un altro sulla seconda
colonna come riferimento per il primo quadrato. Ma se osserviamo con
più attenzione notiamo che il 9 dell'ottava riga blocca il 9
sulla riga 8 del quadrato in basso a sinistra. Inoltre il 9 della seconda
colonna blocca la casella a destra del 4. Il 9 non può che trovarsi
in una delle due caselle sopra o sotto il 2 del quadrato in basso a
sinistra. Possiamo anche scrivere questi due 9. Non sappiamo ancora
quale delle due caselle sia quella giusta, ma sappiamo che entrambi
sono sulla terza colonna. Di conseguenza non potremo scrivere un altro
9 nella terza colonna del primo quadrato in alto a sinistra. L'unica
casella possibile rimane quindi quella della prima colonna. Triplette Queste annotazioni sono di Michael Mepham,
grande esperto del Sudoku. Sudoku del “Times,
Sudoku di The Daily Telegraph.
Sudoku del Daily Mail,
Soluzioni
Intervista a Wayne Gould, l’australiano che ha reinventato il rompicapo matematico.
Perché il suo Sudoku è
diverso dagli altri? «Per una ragione molto semplice: le mie griglie hanno sempre una e una sola soluzione, le altre spesso possono essere risolte in modi diversi. Sembra un particolare di poco conto, ma è decisivo. Ogni gioco enigmistico, dai cruciverba ai romanzi di Agatha Christie, è una sfida al giocatore. Magari quasi impossibile, ma mai veramente impossibile. E la risposta giusta deve essere unica. Ve lo immaginate Hercule Poirot che dice: chi pensava che l’assassino fosse il maggiordomo ha ragione, ma anche chi sospettava il vicino di casa ci ha azzeccato?». Come è nato il Sudoku? «Le sue origini sono “avvolte nel mistero”, e in fondo è divertente che sia così. C’è chi lo fa risalire al matematico svizzero Eulero, chi ad antichi saggi orientali. Io l’ho scoperto nel 1997. Ero in vacanza a Tokyo. Visto che sono un appassionato bibliofilo, un giorno sono entrato in una libreria. Ma non sapendo una parola di giapponese, ho comprato l’unico libro che aveva stampati solo dei numeri». Ed è stato subito contagiato? «A dire il vero quel libro l’ho aperto solo tre mesi dopo. Ma quando ho cominciato a giocare non ho più smesso. E a un certo punto mi sono detto: se piace a me, che non ho mai avuto a che fare con i numeri in vita mia, forse divertirà anche altri. Allora ho acceso il computer e ho provato a costruire un software in grado di creare nuove griglie». Quanto tempo ha impiegato? «Più o meno sei anni». A inventare Google ci hanno messo
molto di meno. «Ma io sono solo un programmatore dilettante, e mica mi sono impegnato a tempo pieno. Nel frattempo ho continuato a girare il mondo, a leggere, a stare con mia moglie e i miei figli». E alla fine cosa ha fatto? «Ho preso un aereo per Londra, ho bussato alle porte del Times e ho detto: mi chiamo Wayne Gould, e forse ho qualcosa che vi può interessare». Cosa le hanno risposto? «Ero nell’atrio d’ingresso del giornale. Dopo un po’ è arrivato un dirigente e mi ha detto: “Hai 60 secondi di tempo per spiegarmi di cosa si tratta”. Ho aperto il portatile e in un attimo gli ho mostrato tutto. Poi sono tornato in albergo, e nel giro di un’ora mi è arrivata la risposta via mail: “Si comincia tra due settimane”». Troppo semplice per sembrare vero. «Ha ragione, ma in fondo il segreto del Sudoku è proprio questo. Per spiegare come si gioca basta un attimo, ma trovare la soluzione può essere molto, molto difficile. Davanti al Sudoku non servono giri di parole, non si bara e non si bluffa. Contano soltanto la logica e l’intuito. E’ questo che piace alla gente». Si calcola che almeno 100 milioni di persone nel mondo abbiano fatto almeno una partita a Sudoku. E per molti è diventato un rito quotidiano. Non teme che la sudokumania possa durare il tempo di un’estate? «Era successa la stessa cosa quando furono inventate le parole crociate, all’inizio del Novecento. Per un po’ la gente non andava nemmeno più al cinema pur di giocare, poi la situazione si è “normalizzata”. Ma anche oggi, cent’anni dopo, che estate sarebbe senza i cruciverba? Secondo me il Sudoku avrà lo stesso, fortunato destino. In fondo se lo merita, è un gioco intelligente». C’è una domanda che tutti i «sudokudipendenti» vorrebbero farle: ma lei riesce sempre trovare la soluzione? «Beh, proprio sempre no. Diciamo che nella maggioranza dei casi ce la faccio. Comunque non sono un campione, per risolvere una griglia diabolica mi servono almeno venti minuti. Mia moglie è molto più veloce di me». Paolo Beltramin CORRIERE DELLA SERA, 9 agosto 2005
Fin qui tutto bene, e tutto abbastanza prevedibile: un nuovo gioco, una nuova passione. C'è però un punto che suscita le perplessità di qualsiasi osservatore: il sudoku è stato definito dal Times «utterly addictive», ossia: «che dà dipendenza totale», ed è effettivamente così. Il giocatore di sudoku è maniacale, tende a vivere nel diagramma, trascurando qualsiasi altra cosa. Non è del tutto chiaro il perché debba essere così. Lasciamo da parte la sfida dei numeri che compaiono, l'ebbrezza trionfante del diagramma completato, lo sforzo iniziale e poi l'entusiasmo per l'abilità conquistata: qualsiasi (video)gioco offre altrettanto, e forse di meglio. Ci deve essere qualcosa d'altro, qualcosa di più, che non si spiega in termini di psicologia spicciola. Considerato che il Sudoku è anche, per universale ammissione, «the fastest growing puzzle in the world» (il rompicapo la cui notorietà è cresciuta più velocemente nel mondo), è probabile che al volgere dell'estate l'onda sudoku, così come è arrivata, così se ne vada. Ma nel frattempo, è inevitabile concedersi qualche riflessione, nella prospettiva di ciò che Foucault chiamava una «ontologia dell'attualità» (nome nobile per indicare un genere di riflessioni a metà tra filosofia e sociologia della cultura): in che cosa consiste l'attrattiva «epocale» del sudoku? La sua fortuna è forse il sintomo di qualcosa che è avvenuto-sta avvenendo nella vita e nella mente di un numero considerevole di persone? c'è una «mutazione antropologica» che si annuncia o si prepara nella passione per questo diagramma nove per nove? O forse c'è un tipo di intelligenza che sta ora diffondendosi e che nel sudoku trova la sua facile e felice espressione? Le congetture si moltiplicano: alcune decisamente lambiccate e fantastiche, altre meno, nessuna sembra a tutta prima convincente, e non è facile avere le idee chiare. La storia del sudoku, con i suoi spostamenti planetari, getta una prima luce sulla sua sociologia. Il precursore è il carré latin di Eulero, anche detto quadrato magico. Il grande matematico svizzero Eulero, si noti, soffriva dal 1735 di una grave forma di cecità progressiva, e concepì questo gioco nel 1783, dunque in una fase avanzata della malattia, in cui vedeva al più ombre vaghe. Il quadrato latino è più semplice del sudoku, perché non prevede i quadrati interni, ma consente perciò un numero più alto di soluzioni (6.670.903.752.021.072.936.960 si è calcolato che siano le soluzioni possibili del sudoku: un numero finito, ma certo inquietante, più o meno la distanza della Terra dalla stella più vicina, espressa in micrometri). Il primo diagramma nella forma attuale si deve al newyorkese Howard Garnes, è degli anni `70, e viene pubblicato dal Dell Pencil Puzzles and Word Games con il titolo non attraente di Number Place. Nell'aprile del 1984 viene introdotto in Giappone, dalla società di giochi Nikoli, con il nome che conosciamo, e conquista lentamente ma inesorabilmente l'operosa popolazione nipponica. Negli anni successivi, l'avanzare del sudoku su scala mondiale non è avvertibile. La prima svolta si ha nel 1997, quando il giudice neozelandese in pensione Wayne Gould in visita in Giappone lo scopre. Nei sei anni successivi Gould mette a punto un programma per computer che produce diagrammi. Arriviamo così all'autunno scorso (novembre 2004), quando il quotidiano Times - su suggerimento di Gould - pubblica nelle sue pagine la prima griglia sudoku. Subito dopo, altri giornali seguono l'esempio: ma è solo a partire dal gennaio 2005 che il nuovo rompicapo conquista i lettori occidentali. Tra aprile e maggio di quest'anno, quasi tutti i giornali britannici sfoggiano sudoku facili e di media e avanzata difficoltà. In maggio le platee di lingua inglese si possono considerare conquistate. In Italia arriva sui quotidiani più o meno a luglio, e ottiene rapidamente un suo diritto di esistenza, se non altro, perché è in assoluto il passatempo più economico che si possa concepire: l'unico davvero consentito alle magre risorse della povera estate italiana. Si sa quasi tutto del sudoku, di come funziona, di come viene creato, della matematica e della logica che lo riguardano. La migliore sintesi si trova su Wikipedia, la libera enciclopedia multilingue di Internet, all'indirizzo web http://en.wikipedia.org/wiki/sudoku. Si sa meno per ora della psicologia sudokiana, ma non mancheranno autorevoli ricerche. Qualche dato sulla epistemologia relativa (il tipo di conoscenza che il sudoku mette in questione) si può trarre dalle informazioni sulle strategie di gioco, esigue ma abbastanza esaustive: quelle ufficiali, e quelle che i giocatori si scambiano informalmente. Molti materiali si trovano nei diversi forum dedicati all'argomento, pubblicati sul sito della Pappocom (la società di Gould). Il sito italiano è creato dalla Fandango libri (www.fandangosudku.it), che in Italia ha pubblicato i volumetti di sudoku del Times. Un'analisi approfondita del meccanismo, del tipo di intelligenza che mette in gioco, della differenza rispetto ad altri rompicapo, non è ancora stata compiuta, che io sappia, in modo sistematico. Ecco dunque qualche riflessione preliminare. Consideriamo come è fatto il diagramma, e la terminologia che lo riguarda: i nove piccoli quadrati 3x3 (sottogriglie) sono detti «regioni», i numeri già presenti (la quantità massima per rendere il gioco minimamente divertente è stata fissata in 30 cifre) sono detti significativamente «dati» (givens). Ora la prima considerazione interessante è che si tratta di trovare numeri che già ci sono, virtualmente: abbiamo di fronte a noi una griglia con un certo numero di «dati», quel che bisogna fare è semplicemente, utilizzando vari tipi di inferenze, fare affiorare i dati virtuali, ossia quei numeri che sono presenti ma nascosti. Le strategie di gioco sono, sostanzialmente, tre: scanning, marking up, analisi logica. Lo scanning consiste semplicemente nel percorrere il diagramma con lo sguardo per esaminare i luoghi in cui figurano i numeri, e in cui sono assenti, per esempio se nella prima colonna a sinistra figura un 3 alla terza riga, gli altri 3 non saranno in quella stessa colonna, né sulla terza riga, né nella prima «regione»; inversamente, se nella prima colonna non figura un 3, da qualche parte in quella stessa colonna dovrà esserci un 3. Lo sguardo coglie queste presenze e assenze in modo molto più rapido di quanto non faccia la nostra competenza linguistica nell'afferrare il significato di queste parole che sto scrivendo. Lo scanning, anche il più sensibile ed esercitato, non riesce a cogliere situazioni più complicate, in cui per capire dove stia un numero occorre tenere conto simultaneamente di righe, colonne, regioni, e in cui non si può fare affidamento su «dati» presenti. Normalmente il solo scanning è sufficiente a risolvere puzzle definiti «facili», mentre i livelli medio e avanzato, «insidioso», «difficile», e «diabolico» (fiendish) richiedono l'impiego del marking up, ossia la consuetudine di segnare in alto in una casella le «contingenze multiple», i diversi numeri che potrebbero essere lì collocati, ma non è ancora sicuro che lo siano. La strategia del marking up offre molte opportunità. Per esempio, se due caselle in una riga hanno come «contingenze» solo due numeri, poniamo il 6 e il 5, sappiamo che in tutta la riga non figureranno più né il 6 né il 5. Il ragionamento si spinge di solito fino a tenere conto di tre contingenze collegate. L'analisi logica in senso lato percorre tutte le fasi della ricerca, i due procedimenti principali sono l'esclusione di possibilità, e il «what if?», ossia, poniamo: se il 4 fosse nella casella «prima colonna, seconda riga che cosa succederebbe? L'esclusione di possibilità opera sulla base di quel che sappiamo sui numeri presenti, o possibilmente presenti, e quel che sappiamo sui numeri assenti. Al primo apparire del sudoku sulle pagine dei giornali italiani, Stefano Bartezzaghi ha giustamente ricordato la differenza tra i cruciverba e il rompicapo lanciato dalla Nikoli: i primi mettono in gioco il significato delle parole, e le informazioni relative, il secondo coinvolge solo il posto, la collocazione dei numeri. Invece dei numeri, tra l'altro, possono esserci simboli di qualsiasi natura (il Grande libro del sudoku, pubblicato da Fandangolibri, una specie di summa progressiva, comprende anche diagrammi di lato 16, con cifre da 0 a 9, e lettere da A a F). Una considerazione utile è dunque che il sudoku non coinvolge alcun tipo di «intelligenza culturale», nessuna informazione specifica, ma soltanto quel che gli americani chiamano «pure brain», intelligenza pura, pura agilità mentale senza contenuti. C'è una vecchia ruggine tra i sostenitori dei due tipi di intelligenza, soprattutto perché si ritiene che la prima crei resistenze per la seconda, e viceversa, come dire: per essere davvero quick-in-the-head, ossia veloci di pensiero, occorre essere di mentalità ristretta e scarsa cultura, ossia closed-in-mind. Così il buon conoscitore di romanzi e storie, vicende del mondo e varietà di prospettive, viene messo in scacco da chi calcola rapidamente e agilmente, ma non vede al di là dei suoi criteri e parametri; inversamente, il genio matematico viene ridotto alla confusione e al silenzio, avvolto dalla rete di inutili parole messe in campo dall'intelligenza culturale. Il tema ha fornito ragioni per il molto inchiostro sprecato sull'autoriflessione degli intellettuali, negli ultimi due secoli: fino ad alimentare le noiose e ritornanti lamentele sulle «due culture». Il punto è però che in realtà sia l'intelligenza pura che l'intelligenza culturale oggi sono messe in scacco dalla vittoria planetaria della stupidità. O meglio, di una stupidità che non è tale, ma è piuttosto una certa agilità mentale, spesa nella chiacchiera e nella relazione sociale, e in una serie di pratiche che l'intelletto comune di media entità e livello considererebbe sciocche o riprovevoli, e che invece garantiscono alla stupidità di acquisire meriti e collocazioni un tempo prerogativa dell'intelligenza (pura o culturale che dir si voglia). Dunque, prima considerazione: l'antagonismo tra le culture e le intelligenze dovrebbe cessare a favore di una strategia comune. I disprezzatori del sudoku, o di altri rompicapo logici, sulla base del presunto formalismo vuoto che li contraddistingue, dovrebbero cominciare a pensare che c'è dell'altro da disprezzare, e da cui guardarsi. In secondo luogo, è probabile che la diffusione del sudoku, ma in generale dei giochi logici e matematici, in epoca recente sia indizio dell'affiorare di una intelligenza di tipo nuovo, che non è segnata dal dualismo di calcolo e cultura, rapidità mentale ed erudizione, ma è in qualche misura preliminare all'uno e all'altra, e combina in vario modo l'uno e l'altra. Il genere di competenza stimolata da Internet (alle migliori condizioni) dovrebbe essere di questo tipo. Gilles Deleuze, pochi anni prima di morire, parlò di un «pensiero diagrammatico» che va sostituendosi - o dovrebbe sostituirsi - al pensiero progettuale o strategico, ponendosi anche come trasversale alla distinzione tra «formale» e «materiale». È un'idea che a quanto pare ha preso piede soprattutto tra gli architetti, i quali amano ormai parlare di «diagrammi» invece che di progetti. E forse non si tratta di una moda (come spesso sono state usate e recepite le idee di Deleuze): forse si tratta di una tendenza più vasta, che suggerisce qualche nuovo orientamento nel modo di recepire l'ambiente, di concepire lo spazio, e il modo in cui operiamo su di esso. Un diagramma è una figurazione di possibilità, che differisce dalla struttura perché mentre la struttura è vuota e formale, ottenuta per astrazione (anche se dinamica), il diagramma contiene la realtà di cui è ordine: esattamente come il nostro rompicapo dal nome giapponese, nella definizione di Deleuze il diagramma sarebbe l'intersecarsi di linee di possibilità. Infatti, e in terzo luogo, va notato che il calcolo che si richiede nella soluzione del rompicapo non è di tipo matematico, ma è squisitamente logico: si tratta di inferenze di tipo ordinativo. L'intelligenza in questione fa affiorare un ordine latente a partire da dati (givens). È un'intelligenza spaziale, ordinatrice appunto, che combina visione e inferenza allo stesso tempo, ed è perciò simile, credo, all'abilità logico-inferenziale necessaria per riordinare con un certo genio il contenuto di un armadio. Si scoprirà, con qualche tecnica di imaging, che la soluzione dei sudoku impiega uno scavalcamento degli emisferi cerebrali, e mette in gioco tipi diversi di prestazioni neurologiche? Si scoprirà che l'intelligenza femminile è diagrammatica, o tendenzialmente tale? Non ne ho la minima idea, e ho qualche dubbio anche sull'espressione «intelligenza femminile». In ogni caso, l'esistenza di un popolo di sudoku-addicted, persi nel numero di combinazioni pari alla distanza tra la Terra e le stelle, chiusi nell'universo senza luce in cui balenò per la prima volta il quadrato di Eulero, dà da pensare. Certo, se di patologia si tratta, è preferibile ad altre, specie in un paese di patologie televisive. Ma forse sarebbe augurabile che questa grande forza-lavoro logica (diagrammatica) trovi presto applicazione (se mai alleandosi all'intelligenza culturale) per scalzare la stupidità (o la furbizia?) dominante. 9. Variazioni SudokuEd Pegg Jr.
Ed Pegg Jr., cura una rubrica di Giochi Matematici, Math Games, sul sito della M.A.A., l’autorevole Mathematical Association of America. Una rubrica straordinaria per la ricchezza e l’attenta analisi dei materiali presentati. E’ nata di recente, solo due anni fa, ma ha già molti e affezionati lettori. L’archivio dei suoi interventi si trova a questo link: http://www.maa.org/news/mathgames.html Inoltre, cura un sito di puzzle matematici assolutamente da visitare, se si è interessati a questo argomento, mathpuzzle.com. Lavora al Wolfram Research, Inc. come associate editor di MathWorld, un sito che molti sicuramente già conosceranno come uno dei migliori siti matematici della rete, ed è amministratore del Mathematica Information Center, una ricca collezione di libri, articoli e relazioni sull’uso di Mathematica, uno dei software matematici più diffusi. Gli abbiamo chiesto di poter pubblicare un suo recente articolo dedicato al Sudoku, in Math Games, September 6, 2005, e lo ringraziamo per la autorizzazione. E’ un articolo che fa veramente il punto sul più popolare gioco matematico del momento, analizzato in tutte le sue varianti.
Sudoku Variations Sulla rivista Dell Pencil Puzzles & Word Games, numero 16, maggio 1979, comparve qualcosa di sorprendente: il Number Place, con queste istruzioni: “Per risolvere questo puzzle, dovete collocare un numero in ogni casella vuota, in modo che ogni riga, ogni colonna e ogni quadrato di nove caselle, all’interno del quadrato più grande (sono 9 in tutto) contenga tutti i numeri da 1 a 9. Tenete presente che nessun numero può comparire più di una volta in ogni riga, in ogni colonna e in ogni quadrato di nove caselle; questo vi aiuterà a risolvere il puzzle. I numeri nei cerchi, della tabella riportata sotto, possono dare un aiuto – ognuno di questi quattro numeri va collocato in una delle caselle circolari della tabella (non necessariamente nell’ordine dato).
Chi era l’autore di questo puzzle?
Oltre ad essere il curatore dei cruciverba del New
York Times, Will Shortz è uno storico dei rompicapi,
e come tale ha svolto un’indagine per trovare la risposta a questo
interrogativo.
Il primo puzzle, riportato sopra, è particolarmente degno di attenzione per la disposizione simmetrica dei numeri, date soltanto 18 caselle iniziali. Per quanto ne sappiamo, il minor numero possibile di numeri che devono essere forniti all’inizio del gioco, per arrivare a una soluzione unica, è 17. Il teorico dei grafi Gordon Royle ha raccolto più di diecimila Sudoku non-equivalenti con 17 numeri iniziali. Il secondo sudoku a destra presenta una gradevole struttura numerica al centro della tabella. Nei molti siti del Sudoku predominano le regole classiche. Sudoku X, Samaria Sudoku oppure Sudoku con altre dimensioni sono le uniche varianti che sono riuscito a trovare, fuori dal World Puzzle Championship. Ho perciò deciso di studiare altre varianti, costruendole io stesso. Prima di tutto ho costruito un Sudoku X.
Nel Diagonal Sudoku, si deve completare
la griglia in modo che ogni riga, ogni colonna, ogni quadrato 3 x 3
e le diagonali principali contengano le cifre da 1
a 9. Questa variante viene chiamata Taikakusen nanpure,
Diagonal Line Number Place, Sudoku X, Kokonotsu,
oppure Dell's Number Place Challenger. Non so quale sia
il minimo numero di cifre da dare all’inizio per il Diagonal
Sudoku. I primi puzzle Number Place, con l’obbligo
delle diagonali furono inventati da Walter Mackey, e comparvero sul
Dell Champion all’inizio degli anni novanta.
Sudoku Pari - Dispari: riempire la griglia in modo che ogni riga, colonna, quadrato 3 x 3, contenga le cifre da 1 a 9, con i numeri pari nelle caselle grigie e quelli dispari nelle caselle bianche. Non ho mai visto Sudoku Pari – Dispari da nessuna parte. Anche in questo caso, potrebbe essere un problema interessante il calcolo del numero minimo di cifre da fornire all’inizio.
Sono comparsi Sudoku colorati in vari modi.
Nei Sudoku riportati qui sopra, il colore limita il numero di caselle
in cui si possono collocare le cifre. Altre varianti del gioco usano
il colore per indicare regioni supplementari. Li ho battezzati Extra
Regions Sudoku. Nanbaapureesu
li chiama Two-Tone Color Number Place (Tsuuton Karaa Nanpure).
In questi ultimi, le regioni supplementari sono tratteggiate con un
colore. Ognuna di queste regioni deve contenere tutte le cifre da 1
a 9.
Nel Consecutive Sudoku (o 1-away
Disallowed Number Place), sono state evidenziate tutte le posizioni
in cui le caselle adiacenti ortogonalmente sono numeri consecutivi.
Si osservi che il secondo puzzle non riporta alcun segno. E questo deliberatamente!
Sono possibili puzzles con un unica soluzione per ogni casella.
Il Greater Than Sudoku, o semplicemente ">", non presenta all’inizio alcun numero. Mi ci sono impegnato per più di 4 ore, ma non ne ho ancora trovato la soluzione. Ho usato ragionamenti diversi per fare qualche progresso, e sono a buon punto. Il secondo è stato ispirato da Alastair Cuthbertson, che parla di somme pandigitali nascoste nei Sudoku, come ad esempio 357 + 624 = 981. Ho scritto un programma per Mathematica al fine di trovare il massimo numero di somme pandigitali in un Sudoku (5). Per caso, ho trovato i tre risolutori del Mathematica Sudoku citati in MathWorld, molto utili nella verifica di alcuni di questi puzzles, che consentono di verificare alcune migliaia di questo tipo di puzzles di nuova costruzione.
Christian
Boyer, il matematico e informatico francese che ha scoperto il cubo
magico perfetto 5 x 5 x 5, ci propone un nuovo puzzle di sua invenzione.
1) Cambiando un segno e solo uno del puzzle originale (Figura 7 a sinistra) è possibile ricavare un altro puzzle avente ancora soltanto una soluzione? Se è possibile, quale segno (i) e quale soluzione (i)?
2) Cambiando un segno e solo uno del puzzle originale, è possibile ottenere un altro puzzle con più di una soluzione? Se è possibile, quale segno (i) e quale soluzione (i)?
Nel Geometry Sudoku,
regioni irregolari prendono il posto dei quadrati 3 x 3. Nel secondo
puzzle riportato sopra, la griglia è toroidale. Vengono anche
chiamati Latin
Squares Puzzles.
Nel 0 to 9 Number Place, ogni riga, colonna e regione contiene dieci cifre, invece di nove. Alcune caselle contengono due numeri e sono segnate in modo particolare. Questo puzzle, dove le caselle a due cifre non sono definite dovrebbe essere probabilmente molto più difficile di un Sudoku regolare.
Il Magic Sudoku ha ispirato questo mio lavoro. Si osservi che i 9 numeri dati all’inizio formano un quadrato magico, inoltre le regioni blu sono tutte collegate fra loro e ci sono cinque caselle blu su ogni linea. Nonostante questi limiti eccezionali è un puzzle molto bello. Dopo averlo risolto mi sono chiesto se si potesse usare un insieme di tessere del domino + monomini per fare un Sudoku e ho costruito il puzzle riportato sopra, senza l’aiuto del computer, perché il mio programma si è rivelato inutile per questo tipo di Sudoku. Spero di riuscire a costruire un Domino Sudoku 16 x 16, con un doppio insieme di 15 tessere e un quadrato magico 4 x 4.
Nel Sums Sudoku, le aree tratteggiate devono avere una somma specifica, e nessun numero può essere ripetuto all’interno di una stessa regione. Tetsuya Nishio ora fa questo lavoro per il Times. Grazie agli sforzi di Nishio, negli anni ottanta, e alla sua ultima creazione dei Paint by Numbers puzzles, i reticoli logici sono diventati molto popolari in Giappone.
Il primo puzzle, riportato sopra, è un Nanpure Fan proposto da un lettore. Ci sono determinate aree con segni matematici di “uguaglianza”, “minore di” o maggiore di”. Questi segni indicano il rapporto tra le somme dei numeri di ogni regione. Questo è probabilmente il sudoku più difficile di tutto il mio lavoro. Nel numero 92 di Nikoli (2000-09) è stato introdotto un puzzle chiamato Factor Rooms, inventato da Yano Ryuou. L’obiettivo è di creare un quadrato latino 9x9, collocando in ogni casella le cifre da 1 a 9. Sono date regioni per ognuna delle quali viene indicato il prodotto dei numeri interni ad essa. Puzzle Factor Rooms sono apparsi sporadicamente sulla rivista Nikoli a partire dal 1995.
Non tutti i puzzles usano le cifre da 1 a 9. E’ possibile usare soltanto le cifre da 1 a 6. Nel primo puzzle riportato sopra, i numeri sono segnati con il sistema usato dagli orologi digitali. Nel secondo, i numeri vengono invece dati con pallini simili a quelli dei dadi o delle tessere del domino.
Il primo puzzle è un Meta puzzle. Si devono inserire i confini di cinque regioni (due sono già forniti) in modo tale che il Sudoku risultante abbia un’unica soluzione. Nel Cubic Sudoku, la regola del cubo è che ogni regione contenga le cifre da 1 a 8 e che ogni “strato” delle tre dimensioni del cubo abbia sempre cifre diverse.
Sono ancora state pubblicate alcune altre varianti:
Infine due varianti che mi piacerebbe veder realizzate:
Sono sicuro che Howard Garns sarebbe soddisfatto se potesse vedere che cosa ha provocato la sua invenzione. Chi desiderasse stampare tutti i puzzles che riportati nell’articolo, li trova qui in formato PDF. Chi cercasse un aiuto, veda le soluzioni di Alan O'Donnell. Per qualcosa in più qui ha i miei source files. Devo ringraziare Will Shortz, Nick Baxter, e Wei-Hwa Huang per il loro grande aiuto nella realizzazione di questo articolo. Riferimenti originali: Conceptis Puzzles, “History of Sudoku,”
http://www.conceptispuzzles.com/articles/sudoku/. Traduzione di Federico Peiretti L’ultima novità: Extreme 3
- D Sudoku, la diabolica versione tridimensionale del gioco, il
Sudokube, proposto dal Daily Telegraph il
21/05/05. Una bottiglia di champagne era il premio per chi fosse riuscito
a risolverlo. Per provarlo scaricare
istruzioni e schema in pdf. La soluzione è disponibile su
questa pagina. Sinden, Il piccolo libro del
Sudoku, Rizzoli, 2005 Autori vari, Sudoku, Vol. 1, Kowalski, 2005 Autori vari, Sudoku, 150 puzzle inediti, Mondadori, 2005
La nuova rivista di “Giochi per la mente”, Logic Art, con i Sudoku in primo piano: http://www.nonzero.it/index.php Il sito della Nikoli, la casa editrice giapponese che ha lanciato i Sudoku: Per chi vuole approfondire l’argomento dei quadrati latini e greco – latini: http://www.ams.org/featurecolumn/archive/latinI1.html http://mathworld.wolfram.com/LatinSquare.html http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/latin.shtml Per giocare e approfondire la struttura del gioco e le sue regole: Applet in rete: http://www.puzzle.jp/letsplay/play_sudoku-e.html http://www.sudokusolver.co.uk/ http://www.cambridge-news.co.uk/lifestyle/games/sudoku.lpf Per risolvere i Sudoku: http://perso.wanadoo.fr/colin.barker/lpa/sudoku.htm http://sudoku.sourceforge.net/ Il sito di Wayne Gould: Il concorso della Oxford University Computing Laboratory per il miglior programma
in grado di risolvere i Sudoku: |
Il
fascino dei quadrati numerici ha origini antiche. Il primo quadrato
magico della storia è cinese e risale a più di tremila
anni fa, ai tempi della dinastia Shang. Era un quadrato numerico inciso
sul dorso di una tartaruga che un pescatore aveva trovato nelle
acque del fiume Giallo e che aveva voluto offrire all’imperatore.
Gli scienziati di corte analizzarono le sue caratteristiche e scoprirono
una struttura straordinaria: un quadrato di numeri con somma costante
15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, come venne battezzato
questo quadrato numerico, arrivato dal grande fiume, diventò
uno dei simboli sacri dell’Antica Cina, rappresentazione, per
i cinesi, dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo.
Un
altro misterioso quadrato magico, ritrovato a Pompei e riportato in
figura, è noto come il Latercolo pompeiano. Risale
al primo secolo d. C. e venne costruito sostituendo ai numeri delle
lettere collocate in modo da formare la frase “SATOR AREPO TENET
OPERA ROTAS” è una frase che si può leggere in diverse
direzioni, su righe o colonne, da sinistra a destra o viceversa. Significa
letteralmente “Il seminatore, col suo aratro, tiene con cura
le ruote”, una frase che potrebbe essere interpretata come
"Dio, dal suo trono, regola con saggezza le sfere (dell'Universo)".
I
Osserviamo
i 7 collocati nei tre quadrati del blocco verticale di sinistra. Un
7 è collocato nel quadrato in alto e un altro nel quadrato in
basso, ma non ci sono 7 nel quadrato di mezzo. Osserviamo ancora che
il 7 del quadrato in alto e anche il 7 della prima colonna. Inoltre,
il 7 del quadrato in basso è anche il 7 della seconda colonna.
Ne consegue che il 7 del quadrato di mezzo non può essere sulla
prima colonna, né sulla seconda. Sarà obbligatoriamente
sulla terza colonna. Ora, sul quadrato di mezzo ci sono già due
cifre collocate sulla terza colonna. Non rimane quindi se un'unica casella
vuota e questa, segnata con A, è l'unica possibilità per
il 7.
Come
ve lo immaginate Wayne Gould, il guru mondiale del Sudoku, il
«padre» di quelle terribili griglie di numeri in grado di
mettere in crisi anche i più presuntuosi cervelloni? Uno scienziato
pazzo, oppure un matematico solitario che passa la vita chiuso in casa
a sfidare equazioni impossibili? Niente di tutto questo. L’inventore
del rompicapo più popolare del pianeta è un giudice neozelandese
che, raggiunta la pensione dopo una lunga e onorata carriera al tribunale
di Hong Kong, si è potuto dedicare a tempo pieno alle sue passioni:
libri, viaggi, computer ed enigmistica. Il Sudoku di Wayne Gould ha
contagiato 24 Paesi, dalla Spagna alla Finlandia, dagli Stati Uniti
al Sud Africa. Il primo a pubblicarlo è stato il Times di Londra,
lo scorso novembre. In Italia è arrivato il 25 giugno, in esclusiva
con il Corriere della Sera, ed è diventato subito un appuntamento
seguitissimo dai lettori. In quotidiani, riviste e siti Internet le
imitazioni si moltiplicano ogni giorno. «Ma delle imitazioni conviene
sempre diffidare». Se a dirlo è lo stesso Gould, vale la
pena di credergli. 
Egli sapeva che i puzzle Number Place erano pubblicati
dal Dell Magazines e attraverso la loro collezione è
arrivato a trovare il primo. Dell non ne riportava l’autore,
ma il nome di Howard Garns appariva nella lista dei collaboratori di
ogni numero della rivista contenente un puzzle Number Place.
Il nome di Garn non compariva nei numeri delle riviste senza
un Number Place e questo è stato decisivo per l’identificazione
dell’autore. Attraverso ulteriori ricerche si scoprì che
Howard Garns era un architetto in pensione, che aveva creato il nuovo
puzzle all’età di 74 anni. Howard Garns è morto
nel 1989 a Indianapolis, senza avere la soddisfazione di vedere il successo
mondiale della sua invenzione. 
